7.5.8 Fejérの一意性定理（Fejér’s Uniqueness Theorem）
Fejérの一意性定理（Fejér’s Uniqueness Theorem）
(7.5.6) 式で定義された作用素 \( L \) が楕円型であり、\( c(x) \lt 0 \) が \( D \) 内で成り立つとする。さらに、\( f \) を \( D \) 上の与えられた実数値関数、\( g \) を境界 \( \partial D \) 上の与えられた実数値関数とする。このとき、次の境界値問題の解は高々1つしか存在しない：
u は D で 2階連続微分可能,
\quad Lu = f \text{ in } D,
\quad u は \overline{D} で連続,
\quad u = g \text{ on } \partial D
証明. もし \( u_1 \) と \( u_2 \) がこの問題の2つの解であるなら、\( v = u_1 - u_2 \) とおくと、\( \pm v \) はともに \( D \) 内で \( Lv = 0 \) を満たし、境界 \( \partial D \) 上で \( v = 0 \) である。 弱い最小値原理によれば、\( v \) と \( -v \) はともに \( D \) で非負であるため、結局 \( v = 0 \) が \( D \) 内で成り立つ。したがって、\( u_1 = u_2 \) であり、一意性が示された。
演習. 弱い最小値原理およびFejérの一意性定理が、次の偏微分方程式にどのように適用されるかを説明せよ：
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_i} - \lambda u = 0,
\quad D \subset \mathbb{R}^n,
ただし、\( \lambda \) は正の実数パラメータである。
次に、行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。このとき、要素ごとのアダマール積により定義される \( A \circ A = [a_{ij}^2] \) も半正定値である。 帰納法を用いれば、任意の正の整数 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して、アダマールべき
A^{(k)} = [a_{ij}^k]
もまた半正定値であることがわかる。さらに、半正定値行列の非負線形結合も半正定値であるため、次が成り立つ：
[p(a_{ij})] = a_0 J_n + a_1 A + a_2 A^{(2)} + \cdots + a_m A^{(m)}
= [a_0 + a_1 a_{ij} + a_2 a_{ij}^2 + \cdots + a_m a_{ij}^m]
ここで \( p(t) = a_0 + a_1 t + \cdots + a_m t^m \) は係数がすべて非負の多項式であり、\( J_n \) はすべての要素が1の行列である。したがって、このとき \([p(a_{ij})]\) は半正定値である。
より一般的には、解析関数 \( f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k \) がすべての係数 \( a_k \ge 0 \) をもち、収束半径 \( R \gt 0 \) をもつとき、すべての \(|a_{ij}| \lt R\) に対して極限をとることで
[f(a_{ij})] \in M_n
も半正定値となることがわかる。
重要な例として \( f(z) = e^z \) がある。この関数のべき級数展開はすべての \( z \in \mathbb{C} \) で収束し、その係数 \( a_k = 1/k! \) はすべて正である。 したがって、任意の \( A = [a_{ij}] \in M_n \) に対してアダマール指数行列
[e^{a_{ij}}]
が定義され、もし \( A \) が半正定値であれば、この行列も半正定値である。 ただし、\( A \) が特に自明な形で特異（singular）である場合に限り、このアダマール指数行列は正定値にはならない。
行列解析の総本山
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