7.3.問題28
7.3.P28
\( A \in M_2 \) が非零、任意の実数 \( \theta \) で \( \det A = e^{i\theta} |\det A| \) とする。次を定義する：
Z_\theta = A + e^{i\theta} \operatorname{adj}(A^*), \quad
\delta = |\det Z_\theta|
(a) \( \delta = (\sigma_1 + \sigma_2)^2 \neq 0 \) を示せ。
(b) 次を示せ：
U = \delta^{-1/2} (A + e^{i\theta} \operatorname{adj}(A^*))
\( U \) はユニタリであり、かつ \( U^* A \) と \( A U^* \) は半正定値である。
(c) 前問で決定された半正定値行列 \( P \) と \( Q \) を用いて、\( A = PU = UQ \) が極分解である理由を説明せよ。
(d) \( A \) が実行列である場合、\( U \) は実行列として選べる理由を説明せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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