[行列解析7.3.P23]

7.3.問題23
- 7.3.P23　
行列解析の総本山

7.3.問題23

7.3.P23　

\( A, B \in M_n \) とする。

(a) \( AA^{*} = BB^{*} \) であることと、ユニタリ行列 \( U \) が存在して \( A = BU \) となることは同値であることを示せ。

(b) \( A \) が正則で、\( A = BU \) かつ \( U \) がユニタリのとき、\( A \bar{A} = B \bar{B} \) は \( A = U^T B \) と同値であることを示せ。

(c) \( A \) と \( B \) が正則で、かつ \( AA^{*} = BB^{*} \) および \( A \bar{A} = B \bar{B} \) の場合、\( A^T \bar{A} = B^T \bar{B} \) となることを示せ。

(d) \( x = [1, 1]^T \), \( y = [1, -1]^T \)、次の行列を考える：

A = \begin{bmatrix} 0 & x^T \\ 0_{2,1} & 0_2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & y^T \\ 0_{2,1} & 0_2 \end{bmatrix}

正則性の仮定を除くと、(c) の含意が必ずしも成立しない理由を説明せよ。

(e) ブロック行列 \( K_A, K_B \in M_{4n} \) を、(4.4.32) の 2,4 ブロックを零行列で置き換えて構成する。\( A \) と \( B \) が正則なら、(4.4.P46) を用いて、\( A \) と \( B \) がユニタリ合同であることと、\( K_A \) と \( K_B \) がユニタリ相似であることが同値であることを示せ。