7.3.問題20
7.3.P20
\( A \in M_{m,n} \) とし、行列 (7.3.4) を用いる。\( v \in \mathbb{C}^{n} \) で \( Av \neq 0 \) とする。次を定義する：
u = \frac{Av}{\|Av\|_2}, \quad
y = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
このとき、\( y^{*} A y = \|Av\|_2 \) を示し、さらに上限 (6.3.17) を \( A \) と \( y \) に対して計算せよ。結論として、\( A \) には少なくとも1つの特異値が次の実数区間に存在する：
\left\{ t \in \mathbb{R} :
\begin{aligned}
& |t - \|Av\|_2| \\
& \le \frac{1}{\sqrt{2}} \left\| A^* u - \|Av\|_2 v \right\|_2 \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} \|Av\|_2 \:\left\| (A^*A - \|Av\|_2^2 I) v \right\|_2
\end{aligned}
\right\}
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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