[行列解析7.3.P7]

7.3.問題7
- 7.3.P7　
行列解析の総本山

7.3.問題7

7.3.P7　

\( A \in M_{m,n} \) とし、特異値分解 \( A = V \Sigma W^{*} \) をもつとする。次のように定める：

A^{\dagger} = W \Sigma^{\dagger} V^{*}

ここで、\( \Sigma^{\dagger} \) は \(\Sigma\) の非零特異値をその逆数に置き換えた後に転置したものである。次を示せ：

(a) \( AA^{\dagger} \) および \( A^{\dagger}A \) はエルミートである。
(b) \( AA^{\dagger}A = A \)。
(c) \( A^{\dagger}AA^{\dagger} = A^{\dagger} \)。
(d) \( A \) が正方かつ正則なら \( A^{\dagger} = A^{-1} \)。
(e) \( (A^{\dagger})^{\dagger} = A \)。
(f) \( A^{\dagger} \) は (a)–(c) の性質により一意に定まる。

この \( A^{\dagger} \) は Moore–Penrose一般化逆行列 と呼ばれる。別の方法として、\( A^{\dagger} \) の特異値分解を書き下し、その3つの因子が (a)–(c) によって一意に決まることを示してもよい。