[行列解析7.3.P5]

7.3.問題5

\( A, E \in M_{m,n} \)、\( k \in \{1, \ldots, q\} \) とする。ここで、\( \sigma_k \) は \( A \) の単純な非零特異値であり、単位特異ベクトル \( v_k, w_k \) が次を満たすとする：

A v_k = \sigma_k w_k

(a) 次の行列

\begin{bmatrix} 0 & A \\ A^{*} & 0 \end{bmatrix}

が固有値 \( \sigma_k \) をもつことを示せ。このとき対応する固有ベクトルは

x = \begin{bmatrix} v_k \\ w_k \end{bmatrix}

である。

(b) 式 (6.3.12) を用いて、次を示せ：

(7.3.12)

\frac{d}{dt} \sigma_k(A + tE) \big|_{t=0} = \mathrm{Re}\, (v_k^{*} E w_k)