4.1.4定理
定理 4.1.4.
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) が与えられたとする。このとき、A がエルミート行列であることと、次の条件の少なくとも一つを満たすことは同値である：
(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(x^* A x\) は実数である。
(b) \(A\) は正規行列であり、固有値はすべて実数である。
(c) 任意の \(S \in M_n\) に対して、\(S^* A S\) はエルミート行列である。
証明. 各条件の十分性を示すだけで十分である。もし任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x\) が実数なら、次が成り立つ：
(x + y)^* A (x + y) = (x^* A x + y^* A y) + (x^* A y + y^* A x)
すべての \(x, y \in \mathbb{C}^n\) に対して実数である。仮定より \(x^* A x\) および \(y^* A y\) は実数であるので、次が成り立つ：
x^* A y + y^* A x \text{ はすべての } x, y \in \mathbb{C}^n \text{ に対して実数である。}
もし \(x = e_k\) かつ \(y = e_j\) とすると、
x^* A y + y^* A x = a_{kj} + a_{jk} \text{ は実数} \implies \Im a_{kj} = -\Im a_{jk}
もし \(x = i e_k\) かつ \(y = e_j\) とすると、
x^* A y + y^* A x = -i a_{kj} + i a_{jk} \text{ は実数} \implies \Re a_{kj} = \Re a_{jk}
これにより、任意の \(j, k\) に対して \(a_{kj} = \overline{a_{jk}}\) が成り立ち、よって \(A = A^*\) となる。
\(A\) が正規行列であれば、ユニタリ対角化可能であり、\(A = U \Lambda U^*\) と書ける。ここで \(\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)。一般に \(A^* = U \overline{\Lambda} U^*\) だが、\(\Lambda\) が実数なら \(A^* = U \Lambda U^* = A\) となる。
条件 (c) は \(S = I\) を選ぶことで、\(A\) がエルミートであることを示す。
エルミート行列は正規行列である（\(A A^* = A^2 = A^* A\)）ので、第2章の正規行列に関する結果はすべてエルミート行列に適用できる。たとえば、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交し、固有ベクトルの正規直交基底が存在し、エルミート行列はユニタリ対角化可能である。
便宜上、エルミート行列に対するスペクトル定理 (2.5.6) を再掲する。
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