3.3問題集
3.3.P1
\( A, B \in M_3 \) が冪零行列であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が相似であることと、両者が同じ最小多項式をもつことが同値であることを示せ。この命題は \( M_4 \) でも成り立つか？
3.3.P2
\( A \in M_n \) が異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) をもつとする。次のアルゴリズムにより、\( A \) の最小多項式 (3.3.7) が決定される理由を説明せよ：各 \( i = 1, \ldots, d \) について、\( k = 1, \ldots, n \) に対して \( (A - \lambda_i I)^k \) を計算する。次に、次を満たす最小の \( k \) を \( r_i \) とせよ：
\operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^{k+1}
3.3.P3
(3.3.10) を用いて、任意の射影行列（冪等行列）が対角化可能であることを示せ。\( A \) の最小多項式は何か。また、もし \( A \) が三冪等行列（\( A^3 = A \)）であれば何が言えるか。さらに、もし \( A^k = A \) が成り立つならばどうか。
3.3.P4
\( A \in M_n \) で、ある \( k \gt n \) に対して \( A^k = 0 \) であると仮定する。このとき、最小多項式の性質を用いて、ある \( r \leq n \) が存在して \( A^r = 0 \) となることを説明せよ。
3.3.P5
次のグラム–シュミットの手続きの応用により、\( A \in M_n \) の最小多項式を、\( A \) の特性多項式や固有値を知らなくても計算できることを示せ。
(a) 写像 \( T : M_n \to \mathbb{C}^{n^2} \) を次のように定義する。任意の \( A \in M_n \) を、その列ベクトルごとに \( A = [a_1 \ \cdots \ a_n] \) と分割し、\( T(A) \) を次のベクトルとする：最初の \( n \) 成分は第1列 \( a_1 \) の成分、次の \( n \) 成分は第2列 \( a_2 \) の成分、以下同様に並べた長さ \( n^2 \) のベクトル。このとき、\( T \) がベクトル空間 \( M_n \) と \( \mathbb{C}^{n^2} \) の同型写像（線形、単射、全射）であることを示せ。
(b) 次のベクトルを考える：
v_0 = T(I), \quad v_1 = T(A), \quad v_2 = T(A^2), \ \ldots, \ v_k = T(A^k), \ \ldots
\( k = 0, 1, 2, \ldots, n \) に対して \( v_0, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{C}^{n^2} \) を得る。Cayley–Hamilton の定理を用いて、これらのベクトルが一次従属であることを示せ。
(c) ベクトル列 \( v_0, v_1, \ldots, v_n \) にグラム–シュミットの正規直交化を適用し、最初にゼロベクトルが現れるまで続けよ。なぜ必ずゼロベクトルが現れるのかを説明せよ。
(d) もしグラム–シュミット過程において、最初のゼロベクトルが \( k \) 番目で現れるならば、\( k-1 \) が \( A \) の最小多項式の次数であることを論じよ。
(e) グラム–シュミット過程の \( k \) 番目の段階で、次が得られるとする：
\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_{k-1} v_{k-1} = 0
このとき、
T^{-1}(\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_{k-1} v_{k-1})
= \alpha_0 I + \alpha_1 A + \alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_{k-1} A^{k-1} = 0
となる。したがって、最小多項式は
q_A(t) = \frac{\alpha_{k-1} t^{k-1} + \cdots + \alpha_2 t^2 + \alpha_1 t + \alpha_0}{\alpha_{k-1}}
である。なぜ \(\alpha_{k-1} \neq 0\) なのかを説明せよ。
3.3.P6
(3.3.P5) のアルゴリズムに従い、次の行列の最小多項式を求めよ：
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
3.3.P7
次の行列を考える：
A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
これを用いて、\( AB \) と \( BA \) の最小多項式が必ずしも同じでないことを示せ。しかし、\( C, D \in M_n \) のとき、なぜ \( CD \) と \( DC \) の特性多項式は必ず同じになるのかを説明せよ。
3.3.P8
\( A_i \in M_{n_i} \ (i=1, \ldots, k) \) とし、それぞれの最小多項式を \( q_{A_i}(t) \) とする。このとき、直和 \( A = A_1 \oplus \cdots \oplus A_k \) の最小多項式は、\( q_{A_1}(t), \ldots, q_{A_k}(t) \) の最小公倍多項式であることを示せ。これは、それぞれの \( q_i(t) \) を割り切る最小次数のモニック多項式である。この結果を用いて、(1.3.10) の別証明を与えよ。
3.3.P9
\(A\in M_5\) が特性多項式 \(p_A(t)=(t-4)^3(t+6)^2\) かつ最小多項式 \(q_A(t)=(t-4)^2(t+6)\) をもつとする。\(A\) のジョルダン標準形は何か？
3.3.P10
積分的計算により、多項式 (3.3.11)
p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1 t + a_0
がコンパニオン行列 (3.3.12) の特性多項式であることを直接計算で示せ。
3.3.P11
\(A\in M_n\) を多項式 \(p(t)\) のコンパニオン行列 (3.3.12) とする。反転行列 \(K_n\)（エントリを逆順に並べる反転行列）を定め、\(A_2=K_n A K_n\)、\(A_3=A^T\)、\(A_4=K_n A^T K_n\) と置く。
(a) \(A_2,A_3,A_4\) を (3.3.12) のような明示的配列で書け。(b) なぜ各 \(A_2,A_3,A_4\) に対して \(p(t)\) が最小多項式かつ特性多項式になるのか説明せよ。これらは文献でコンパニオン行列の別定義として扱われることがある。
3.3.P12
\(A,B\in M_n\) とし、\(p_A(t)=p_B(t)=q_A(t)=q_B(t)\) が成り立つと仮定する。なぜこのとき \(A\) と \(B\) は相似であるかを説明せよ。また、この事実を用いて、先の問題で述べたコンパニオン行列の別形はすべて (3.3.12) に相似であることを示せ。
3.3.P13
任意の \(n\) 個の複素数は \(n\times n\) コンパニオン行列の固有値になり得ることを説明せよ。しかしコンパニオン行列の特異値には強い制約がある。行列 (3.3.12) をブロック表示
A = \begin{bmatrix} 0 & I_{n-1} \\ -a_0 & \xi^T \end{bmatrix},
\quad \xi = [-a_1,\ldots,-a_{n-1}]^T \in \mathbb{C}^{n-1}
と表し、\(A^*A\) が次の形であることを確認せよ：
A^*A = \begin{bmatrix} I_{n-1} & \xi \\ \xi^* & s \end{bmatrix},
\quad s = |a_0|^2 + \|\xi\|_2^2
ここで \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \) は \(A\) の特異値とする。
(a) 示せ：
\sigma_2=\cdots=\sigma_{n-1}=1,\quad
\sigma_1^2,\ \sigma_n^2 = \tfrac{1}{2}\Big( s+1 \pm \sqrt{(s+1)^2 - 4|a_0|^2}\ \Big)
\tag{3.3.16}
別の方法として補間性（interlacing）を用いて \(A^*A\) の固有値 1 の重複度が少なくとも \(n-2\) であることを示し、残る2つの固有値を跡と行列式から決定する方法がある。
(b) 次を検証せよ：\(\sigma_1\sigma_n=|a_0|\)、\(\sigma_1^2+\sigma_n^2=s+1\)、および \(\sigma_1\ge 1\ge \sigma_n\)。ここで \(\xi\neq 0\) のときは両不等号は厳しい。 (c) 式 (3.3.16) はコンパニオン行列の特異値がその成分の絶対値のみに依存することを示している。適当な対角ユニタリ同値変換を施してこの事を別の方法で示せ。問題 5.6.P28 と 5.6.P31 は (3.3.16) を用いて多項式の根に対する上界を与える。
3.3.P14
\(A\in M_n\) がコンパニオン行列 (3.3.12) のとき、次を示せ：(a) \(n=2\) の場合、\(A\) は正規であることと \(|a_0|=1\) かつ \(a_1 = -a_0\overline{a_1}\) が同値である。さらに単位行列（ユニタリ）であることは \(|a_0|=1\) かつ \(a_1=0\) と同値である。(b) \(n\ge 3\) のとき、\(A\) が正規であることは \(|a_0|=1\) かつ \(a_1=\cdots=a_{n-1}=0\)（すなわち \(p_A(t)=t^n-c\) かつ \(|c|=1\)）と同値である。(c) \(n\ge 3\) かつ \(A\) が正規ならば \(A\) はユニタリであり、ある \( \varphi\in[0,2\pi/n) \) が存在して固有値は \( e^{i\varphi} e^{2\pi i k/n},\ k=0,\dots,n-1\) の形になることを示せ。
3.3.P15
任意の \(A\in M_n\) に対して集合
P(A)=\{ p(A) : p(t)\ \text{は多項式} \}
を考える。\(P(A)\) が \(M_n\) の部分代数（すなわち \(A\) によって生成される部分代数）であることを示せ。また、\(P(A)\) の次元が \(A\) の最小多項式の次数に等しいこと、したがって \(\dim P(A)\le n\) であることを説明せよ。
3.3.P16
\( A, B, C \in M_n \) とし、多項式 \( p_1(t), p_2(t) \) が存在して \( A = p_1(C), B = p_2(C) \) であるとする。このとき \( A \) と \( B \) は可換である。すべての可換な行列の組がこのようにして得られるのだろうか。次のように、ある3×3の可換な行列の組が第三の行列の多項式としては表せない構成について詳しく説明せよ。(a) \( A = J_2(0) \oplus J_1(0), B = J_3(0)^2 \) とする。このとき \( AB = BA = A^2 = B^2 = 0 \) であり、\(\{I, A, B\}\) は \( A(A, B) \)（\( A, B \) が生成する代数）の基底であり、\(\dim A(A, B) = 3\) であることを示せ。(b) もし \( C \in M_3 \) と多項式 \( p_1(t), p_2(t) \) が存在して \( A = p_1(C), B = p_2(C) \) であるなら、\( A(A, B) \subset P(C) \) だから \(\dim P(C) \geq 3\)、さらに \(\dim P(C) = 3\)、したがって \( A(A, B) = P(C) \) である。(c) \( C = \gamma I + \alpha A + \beta B \) とすると、\((C - \gamma I)^2 = 0\)、すなわち \( C \) の最小多項式の次数は高々2であり、\(\dim P(C) \leq 2\) となる。これは矛盾である。
3.3.P17
ある行列がコンパニオン行列 \( C \) と可換であるなら、その行列は \( C \) の多項式であることを説明せよ。
3.3.P18
ニュートンの恒等式 (2.4.18–19) は、標準的な行列解析の恒等式をコンパニオン行列に適用することで証明できる。(2.4.P3) と (2.4.P9) の記法を採用し、\( A \in M_n \) を多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_1t + a_0 \) のコンパニオン行列とする。以下の詳細を示せ。(a) \( p(t) = p_A(t) \) なので \( p(A) = 0 \) であり、したがって
0 = \operatorname{tr}(A^k p(A)) = \mu_{n+k} + a_{n-1}\mu_{n+k-1} + \cdots + a_1\mu_{k+1} + a_0\mu_k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
これは (2.4.19) である。(b) (2.4.13) を用いて次を示せ。
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A)) = n t^{n-1} + \operatorname{tr} A^{n-2} t^{n-2} + \cdots + \operatorname{tr} A t + \operatorname{tr} A^0
\tag{3.3.17}
(2.4.17) を使って、次を示せ。
\operatorname{tr} A^{n-k-1} = \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k},
\quad k = 1, \ldots, n-1
これは (3.3.17) の右辺における \( t^{n-k-1} \) の係数である。他方、(0.8.10.2) より
\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A))
= n t^{n-1} + (n-1)a_{n-1}t^{n-2} + \cdots + 2a_2 t + a_1
したがって左辺の \( t^{n-k-1} \) の係数は \((n-k)a_{n-k}\) である。結論として、
(n-k)a_{n-k} = \mu_k + a_{n-1}\mu_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1}\mu_1 + n a_{n-k},
\quad k = 1, \ldots, n-1
これは (2.4.17) と同値である。
3.3.P19
\( A, B \in M_n \) とし、交換子 \( C = AB - BA \) を考える。(2.4.P12) で学んだように、もし \( C \) が \( A \) または \( B \) と可換であれば \( C^n = 0 \) である。もし \( C \) が両方の \( A \) と \( B \) と可換であるなら \( C^{n-1} = 0 \) であることを示せ。このことは \( n = 2 \) の場合に何を意味するか。
3.3.P20
\( A, B \in M_n \) をコンパニオン行列 (3.3.12)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。(a) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるのは、\( x_\lambda = [1, \lambda, \lambda^2, \ldots, \lambda^{n-1}]^T \) が \( A^T \) の固有ベクトルであるとき、かつそのときに限ることを示せ。(b) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるなら、\(\lambda\) に対応する \( A^T \) の固有ベクトルはすべて \( x_\lambda \) のスカラー倍であることを示せ。したがって、\( A \) の各固有値の幾何的重複度は 1 である。(c) \( A^T \) と \( B^T \) が共通の固有ベクトルを持つのは、共通の固有値を持つとき、かつそのときに限ることを説明せよ。(d) もし \( A \) が \( B \) と可換であるなら、\( A, B \) は共通の固有値を持たねばならないことを示せ。
3.3.P21
\( n \geq 2 \) とし、\( C_n \) を \( p(t) = t^n + 1 \) のコンパニオン行列 (3.3.12)、\( L_n \in M_n \) を主対角線の下の成分がすべて +1 である下三角行列、\( E_n = L_n - L_n^T \)、さらに \(\theta_k = \frac{\pi}{n}(2k+1), \, k = 0, 1, \ldots, n-1 \) とする。以下に、\( E_n \) のスペクトル半径が \(\cot \frac{\pi}{2n}\) であることの証明を示せ。(a) \( C_n \) の固有値は \(\lambda_k = e^{i\theta_k}, k = 0, 1, \ldots, n-1\) であり、それぞれに対応する固有ベクトルは \( x_k = [1, \lambda_k, \ldots, \lambda_k^{n-1}]^T \) である。(b) \( E_n = C_n + C_n^2 + \cdots + C_n^{n-1} \) であり、固有ベクトルは \( x_k \)、固有値は
\lambda_k + \lambda_k^2 + \cdots + \lambda_k^{n-1}
= \frac{\lambda_k - \lambda_k^n}{1 - \lambda_k}
= \frac{1 + \lambda_k}{1 - \lambda_k}
= \frac{e^{-i\theta_k/2} + e^{i\theta_k/2}}{e^{-i\theta_k/2} - e^{i\theta_k/2}}
= i \cot \frac{\theta_k}{2}
\( k = 0, 1, \ldots, n-1 \) のとき、固有値は上記のように与えられる。(c) よって \(\rho(E_n) = \cot \frac{\pi}{2n}\) である。
3.3.P22
\( A \in M_n \) とする。このとき \( A \) の最小多項式の次数は高々 \(\operatorname{rank} A + 1\) であることを説明せよ。さらに、この上界が特異行列に対して最適であることを例によって示せ。すなわち、各 \( r = 1, \ldots, n-1 \) に対して、ある \( A \in M_n \) が存在し、\(\operatorname{rank} A = r\) かつ \( q_A(t) \) の次数が \( r+1 \) である。
3.3.P23
コンパニオン行列（companion matrix）は、固有値がすべて異なる場合に限り対角化可能であることを示しなさい。
3.3.P24
(3.3.4)の直前の演習にある例を用いて、任意の多項式 \( p(t) \) に対して \( p(A) = 0 \) であることと \( p(B) = 0 \) であることが同値となるような、相似でない \( A, B \in M_n \) が存在することを示しなさい。
3.3.P25
\( a_0 \neq 0 \) の場合、(3.3.12) の伴行列 \( A \) の逆行列が次の形で表されることを示しなさい。
A^{-1} =
\begin{bmatrix}
-\tfrac{a_1}{a_0} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
-\tfrac{a_2}{a_0} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\tfrac{a_{n-1}}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-\tfrac{1}{a_0} & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
\tag{3.3.18}
さらに、その特性多項式が次の式で表されることを示しなさい。
t^n + \tfrac{a_1}{a_0} t^{n-1} + \cdots + \tfrac{a_{n-1}}{a_0} t + \tfrac{1}{a_0}
= \tfrac{t^n}{a_0} \, p_A(t^{-1})
\tag{3.3.19}
3.3.P26
これは (2.4.P16) の一般化である。\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とし、最小多項式を
q_A(t) = (t - \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (t - \lambda_d)^{\mu_d}
とする。各 \( i = 1, \ldots, d \) に対し、\( q_i(t) = \tfrac{q_A(t)}{t - \lambda_i} \) とし、\( \nu_i \) を \( A \) のジョルダン標準形におけるブロック \( J_{\mu_i}(\lambda_i) \) の個数とする。このとき以下を示しなさい。
(a) 各 \( i \) について、\( q_i(A) \neq 0 \) であり、その非零列は \( A \) の固有値 \( \lambda_i \) に対応する固有ベクトルであり、非零行は \( \lambda_i \) に対応する左固有ベクトルの共役である。
(b) 各 \( i \) について、\( q_i(A) = X_i Y_i^* \) が成り立ち、ここで \( X_i, Y_i \in M_{n, \nu_i} \) は階数 \( \nu_i \) を持ち、\( AX_i = \lambda_i X_i \)、\( Y_i^* A = \lambda_i Y_i^* \) が成り立つ。
(c) \(\operatorname{rank} q_i(A) = \nu_i, \, i = 1, \ldots, d\)。
(d) ある \( i \) に対して \(\nu_i = 1\) ならば、\(\operatorname{rank} p(A) = 1\) となる多項式 \( p(t) \) が存在する。
(e) \( A \) が nonderogatory（最小多項式の次数が \( n \) に等しい場合）、\(\operatorname{rank} p(A) = 1\) となる多項式 \( p(t) \) が存在する。
(f) (d) の主張の逆もまた正しい。これを証明できるか？
3.3.P27
複素数値関数 \( y(t) \) に対する n 次線形斉次常微分方程式
y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + a_{n-2} y^{(n-2)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0
は、補助変数 \( x_1 = y, x_2 = y', \ldots, x_n = y^{(n-1)} \) を導入することで、一次の斉次常微分方程式系 \( x' = Ax, \, A \in M_n, \, x = [x_1 \ldots x_n]^T \) に変換できる。この変換を行い、\( A^T \) が伴行列 (3.3.12) であることを示しなさい。
3.3.P28
\( K \in M_n \) が反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であると仮定する。このとき、\( K \) が対角化可能であり、かつある \( m \in \{0,1,\ldots,n\} \) に対して \( K \) が \( I_m \oplus (-I_{n-m}) \) に相似であることを説明しなさい。
3.3.P29
\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列であり、\( A = KAK \) が成り立つとする。このとき以下を示しなさい。
(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n\} \) と、行列 \( A_{11} \in M_m, A_{22} \in M_{n-m} \) が存在して、\( A \) が \( A_{11} \oplus A_{22} \) に相似であり、さらに \( KA \) が \( A_{11} \oplus (-A_{22}) \) に相似である。
(b) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\(+\lambda\) または \(-\lambda\) が \( KA \) の固有値であることは同値である。
(c) \( A \in M_n \) が中心対称行列 (0.9.10) であり、\( K = K_n \) が逆順行列 (0.9.5.1) であるとき、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\(+\lambda\) または \(-\lambda\) が \( K_n A \) の固有値であることは同値である。この場合、\( K_n A \) は \( A \) の行を逆順に並べた行列である。
3.3.P30
\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であり、\( A = -KAK \) が成り立つとする。このとき次を示しなさい。
(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n\} \) と、行列 \( A_{12} \in M_{m,n-m}, A_{21} \in M_{n-m,m} \) が存在して、\( A \) は次の行列 \( B \) に相似である：
B =
\begin{bmatrix}
0_m & A_{12} \\
A_{21} & 0_{n-m}
\end{bmatrix}
また、\( KA \) は次の行列に相似である：
\begin{bmatrix}
0_m & A_{12} \\
- A_{21} & 0_{n-m}
\end{bmatrix}
(b) \( A \) は \( iKA \) に相似である。したがって、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( KA \) の固有値であることは同値である。
(c) \( A \in M_n \) が歪中心対称行列（skew centrosymmetric, (0.9.10)）であり、\( K_n \) が逆順行列 (0.9.5.1) である場合、\( A \) は \( iK_n A \) に相似である。したがって、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( K_n A \) の固有値であることは同値である。この場合、\( K_n A \) は \( A \) の行を逆順に並べた行列である。
3.3.P31
最小多項式が \( x^2 + 1 \) となる実数の \(3 \times 3\) 行列は存在しないことを示しなさい。ただし、そのような性質を持つ実数の \(2 \times 2\) 行列や複素数の \(3 \times 3\) 行列は存在することを示しなさい。
3.3.P32
\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。ジョルダン標準形におけるブロックの個数を \( N = w_1(A,\lambda_1)+\cdots+w_1(A,\lambda_d) \) とする。次の手順を繰り返すことで、すべてのブロックを消去できる（必ず有限回で終了する）。
(i) 各 \( k = 1, \ldots, d \) について、固有値 \(\lambda_k\) に対応するブロックがリストに残っていれば、その中で最大サイズのものを1つ取り除く。
(ii) 取り除かれた（高々 \( d \) 個の）ブロックの直和を \( J_j \) とし、その特性多項式を \( p_j(t) \) とする。さらに、\( C_j \) を \( p_j(t) \) の伴行列とする。
この構成について次を示しなさい。
(a) 各行列 \( J_j \) は nonderogatory である。
(b) 各 \( J_j \) は \( C_j \) に相似である。
(c) \( A \) は \( F = C_1 \oplus \cdots \oplus C_r \) に相似である。
(d) \( p_1(t) \) は \( A \) の最小多項式であり、\( p_1(t)\cdots p_r(t) \) は \( A \) の特性多項式である。
(e) \( A \) が実行列であれば \( F \) も実行列である。
(f) 各 \( j = 1,\ldots,r-1 \) について、\( p_{j+1}(t) \) は \( p_j(t) \) を割り切る。
(g) \( F' = C'_1 \oplus \cdots \oplus C'_s \) が伴行列の直和であり、もし \( F' \) が \( A \) に相似であり、かつ各 \( j = 1,\ldots,s-1 \) について \( p_{C'_{j+1}}(t) \) が \( p_{C'_j}(t) \) を割り切るならば、\( F' = F \) である。
多項式 \( p_1(t), \ldots, p_r(t) \) を \( A \) の不変因子（invariant factors）と呼ぶ。ここでは \( A \) のジョルダン標準形（したがって固有値）を使って \( F \) を構成したが、実際には固有値を明示的に用いなくても \( A \) の不変因子を計算できる。すなわち、有限回の有理的な計算（加減乗除）だけで \( A \) の不変因子を決定できる。もし \( A \) が実行列であれば、計算に現れるのは実数のみである。より一般に、もし \( A \) の成分が体 \( F \) に属すれば、その計算は \( F \) の元だけを用いて行える。この行列 \( F \) を \( A \) の有理標準形（rational canonical form）という。
3.3.P33
(3.3.11) の多項式 \( p \) の根を \( z_1, \ldots, z_n \) とする。このとき次を示しなさい。
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |z_i|^2
\leq 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} |a_i|^2
\lt 1 + \max_{0 \leq i \leq n-1} |a_i|^2
3.3.P34
\( A, B \in M_n \) とし、\( C = AB - BA \) とする。\( A \) の最小多項式 (3.3.5b) を考え、\( m = 2 \max\{r_1, \ldots, r_d\} - 1 \) とする。もし \( A \) が \( C \) と可換であるなら、\( C^m = 0 \) が成り立つ。この事実から (2.4.P12 (a,c)) の主張を導きなさい。
3.3.P35
\( A \in M_n \) とし、\(\operatorname{rank} A = 1\) であると仮定する。このとき最小多項式が
q_A(t) = t(t - \operatorname{tr} A)
であることを示し、さらに \( A \) が対角化可能であることと \(\operatorname{tr} A \neq 0\) が同値であることを結論しなさい。
参考文献.
(3.3.16) の最初の証明は、F. Kittaneh, "Singular values of companion matrices and bounds on zeroes of polynomials," SIAM J. Matrix Anal. Appl. 16 (1995) 333–340 にある。
任意の体上の行列の有理標準形についての議論は、Hoffman and Kunze (1971) の第 7.2 節、または Turnbull and Aitken (1945) の第 V.4 節を参照せよ。
(3.3.P34) で言及された結果は、J. Bračič and B. Kuzma, "Localizations of the Kleinecke–Shirokov theorem," Oper. Matrices 1 (2007) 385–389 で証明されている。
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