3.2.13.1
3.2.13 ランク1摂動のジョルダン標準形。ランク1摂動の固有値に関するブラウアーの定理（(1.2.8) および (2.4.10.1)）には、ジョルダンブロックに対する類似の結果があります。特定の条件のもとで、複素正方行列の1つの固有値は、ランク1の摂動によってジョルダン構造の残りの部分を乱すことなく、ほぼ任意にシフトさせることができます。
定理 3.2.13.1. \( n \geq 2 \) とし、\( \lambda, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) を \( A \in M_n \) の固有値とする。\( A x = \lambda x \), \( y^{*}A = \lambda y^{*} \), かつ \( y^{*}x \neq 0 \) を満たす非零ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が存在すると仮定する。このとき次が成り立つ：
(a) \( A \) のジョルダン標準形は
[ \lambda ] \oplus J_{n_1}(\nu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\nu_k)
となる。ただし、\( k, n_1, \ldots, n_k \) は正の整数であり、\(\{ \nu_1, \ldots, \nu_k \} \subset \{ \lambda_2, \ldots, \lambda_n \}\) である。
(b) \( v \in \mathbb{C}^n \) が \( \lambda + v^{*}x \neq \lambda_j \ (j = 2, \ldots, n) \) を満たすとき、\( A + x v^{*} \) のジョルダン標準形は
[ \lambda + v^{*}x ] \oplus J_{n_1}(\nu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\nu_k)
証明. (a) の主張は (1.4.7) から従う。すなわち、ある \( B \in M_{n-1} \) に対して \( S = [x \ S_1] \) が可逆であり、\( S^{-1}AS = [\lambda] \oplus B \) となる。このとき \( J_{n_1}(\nu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\nu_k) \) は \( B \) のジョルダン標準形である。
次に、
S^{-1}(x v^{*})S \\
= (S^{-1}x)(v^{*}S) \\
= e_1 (v^{*}S) \\
= \begin{bmatrix} v^{*}x & w^{*} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
となる。ただし \( w^{*} = v^{*} S_1 \) である。これを \( A \) と \( x v^{*} \) の相似変換に組み合わせると、
S^{-1}(A + x v^{*})S \\
=
\begin{bmatrix}
\lambda + v^{*}x & w^{*} \\
0 & B
\end{bmatrix}
を得る。このブロック行列が \([ \lambda + v^{*}x ] \oplus B\) に相似であることを示せば十分である。
任意の \(\xi \in \mathbb{C}^{n-1}\) に対し、
\begin{bmatrix} 1 & \xi^{*} \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1}
= \begin{bmatrix} 1 & -\xi^{*} \\ 0 & I \end{bmatrix}
となるので、
\begin{bmatrix} 1 & \xi^{*} \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix} \lambda + v^{*}x & w^{*} \\ 0 & B \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & \xi^{*} \\ 0 & I \end{bmatrix} \\
= \begin{bmatrix} \lambda + v^{*}x & w^{*} + \xi^{*}((\lambda + v^{*}x)I - B) \\ 0 & B \end{bmatrix}
を得る。ここで \(\lambda + v^{*}x\) は \( B \) の固有値ではないと仮定しているので、
\xi^{*} = -w^{*}((\lambda + v^{*}x)I - B)^{-1}
と取ることができる。したがって \( A + x v^{*} \) は \([ \lambda + v^{*}x ] \oplus B\) に相似である。
コメント