[行列解析3.1.P24]

3.1問題24

3.1.P24

次の 4×4 行列を考える：

\( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^2, \; B = [B_{ij}]_{i,j=1}^2 \) とし、

A_{11} = A_{22} = B_{11} = B_{22} = J_2(0), \\
\quad A_{21} = B_{21} = 0_2,

A_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, 
\quad B_{12} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.

(a) 任意の \( k = 1, 2, \ldots \) に対して、\( A^k \) と \( B^k \) は 0-1 行列（各要素が 0 または 1）であり、1 の要素数が同じであることを示せ。

(b) \( A \) と \( B \) が冪零かつ相似である理由を説明せよ。そのジョルダン標準形は何か。

(c) 2つの置換相似な 0-1 行列が、同じ数の 1 の要素を持つ理由を説明せよ。

(d) \( A \) と \( B \) が置換相似でないことを示せ。

[行列解析3.1]ジョルダン標準形の定理

3.13.1.1 定義(3.1.2)J_1(\lambda) = , \quadJ_2(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda & 1 \0 & \lambda\end{bmatrix}(3.1.3)J = J_...

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2025.09.03