7.6.
定理7.6.4.
\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であるとする。
(a) もし \(A\) が正定値であれば、非特異行列 \(S \in M_n\) が存在して、
\(A = S I S^\ast\) および \(B = S \Lambda S^\ast\) と表せる。
ここで \(\Lambda\) は実対角行列である。\(B\) と \(\Lambda\) の符号構造（inertia）は同じであり、したがって \(B\) が半正定値であれば \(\Lambda\) は非負の対角行列となり、\(B\) が正定値であれば \(\Lambda\) は正の対角行列となる。
\(\Lambda\) の主対角成分は、対角化可能な行列 \(A^{-1} B\) の固有値である。
(b) もし \(A\) と \(B\) が半正定値で、\(\mathrm{rank}\,A = r\) であれば、非特異行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A = S(I_r \oplus 0_{n-r})S^\ast\) および \(B = S \Lambda S^\ast\) と表せる。
ここで \(\Lambda\) は非負の対角行列であり、\(\mathrm{rank}\,B = \mathrm{rank}\,\Lambda\) である。
証明.
(a) 非特異行列 \(T \in M_n\) を選んで \(T^{-1} A T^{-\ast} = I\) とする。単位行列 \(U \in M_n\) を選んで \(U^\ast (T^{-1} B T^{-\ast}) U = \Lambda\) が対角になるようにする。ここで \(S = T U\) とおく。すると
S^{-1} A S^{-\ast} = U^\ast T^{-1} A T^{-\ast} U = U^\ast I U = I
S^{-1} B S^{-\ast} = U^\ast T^{-1} B T^{-\ast} U = \Lambda
最終的な主張は次の計算から従う：
A^{-1} B = (S^{-\ast} S^{-1})(S \Lambda S^\ast) = S^{-\ast} \Lambda S^\ast
(b) 非特異行列 \(T \in M_n\) を選んで \(T^{-1} A T^{-\ast} = I_r \oplus 0_{n-r}\) とする。次に
T^{-1} B T^{-\ast} =
\begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} \\
B_{12}^\ast & B_{22}
\end{pmatrix}
と分割し、\(B_{12} = B_{11} X\) を満たす \(X \in M_{n-r}\) を選ぶ。行列
R = \begin{pmatrix} I_r & -X \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}
を定め、次を計算する：
R^\ast (T^{-1} B T^{-\ast}) R = B_{11} \oplus (B_{22} - X^\ast B_{11} X)
単位行列 \(U_1 \in M_r\) と \(U_2 \in M_{n-r}\) が存在して
U_1^\ast B_{11} U_1 = \Lambda_1, \quad
U_2^\ast (B_{22} - X^\ast B_{11} X) U_2 = \Lambda_2
が実対角行列となるようにできる。ここで \(U = U_1 \oplus U_2\)、\(\Lambda = \Lambda_1 \oplus \Lambda_2\)、および \(S = T R U\) とおくと、\(S^{-1} A S^{-\ast} = I_r \oplus 0_{n-r}\) および \(S^{-1} B S^{-\ast} = \Lambda\) が得られる。
演習.
前定理(a)項の証明において、可能な \(T\) の一つとして \(A^{1/2}\) を選ぶ理由を説明せよ。この場合、\(S = A^{1/2} U\) であり、ここで \(U\) は \(A^{-1/2} B A^{-1/2} = U \Lambda U^\ast\) がスペクトル分解になる任意の単位行列である。もし \(A\) と \(B\) が実行列であればどうなるか？(7.2.9) を用いて、下三角行列として可能な \(T\) を記述せよ。対応する \(U\) は何か？ \(S\) は何か？ 前の結果のバリエーションは、同様の方法で証明可能である。
行列解析の総本山
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