7.6.1 定理：エルミート行列の標準形と固有値分解
定理 7.6.1.
\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。
(a) \( A \) が正定値である場合、非特異行列 \( S \in M_n \) が存在して、次の形に変形できる：
A = S I S^* , \quad B = S^{-*} \Lambda S^{-1}
ここで \(\Lambda\) は実対角行列である。\( B \) と \(\Lambda\) の慣性は一致する。したがって、もし \( B \) が半正定値なら \(\Lambda\) は非負対角行列となり、\( B \) が正定値なら \(\Lambda\) は正対角行列となる。
(b) \( A \) と \( B \) が半正定値であり、\(\operatorname{rank}(A) = r\) の場合、非特異行列 \( S \in M_n \) が存在して次が成り立つ：
A = S ( I_r \oplus 0_{n-r} ) S^* , \quad B = S^{-*} \Lambda S^{-1}
ここで \(\Lambda\) は非負対角行列である。
証明. (a) 定理 4.5.7 により、非特異行列 \( T \in M_n \) が存在して
T^{-1} A T^{-*} = I
が成り立つ。\( T^* B T \) はエルミート行列であるため、単位行列 \( U \in M_n \) が存在して
U^* ( T^* B T ) U = \Lambda
が対角行列となる。\( S = T U \) とおくと、
S^{-1} A S^{-*} = U^* T^{-1} A T^{-*} U = U^* I U = I, \quad S^* B S = U^* T^* B T U = \Lambda
定理 4.5.8 により、\( B \) と \(\Lambda\) は同じ慣性を持つ。
(b) 再び (4.5.7) を用いて、非特異行列 \( T \in M_n \) を選び、次の形に変形する：
T^{-1} A T^{-*} = I_r \oplus 0_{n-r}
そして \( T^* B T \) をそれに合わせてブロック分割する：
T^* B T =
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12} \\
B_{12}^* & B_{22}
\end{bmatrix}
\( T^* B T \) は半正定値なので、(7.1.10) より \( B_{12} = B_{11} X \) を満たす行列 \( X \in M_{n-r} \) が存在する。次を定義する：
R =
\begin{bmatrix}
I_r & -X \\
0 & I_{n-r}
\end{bmatrix}
すると
R^* (T^* B T) R = B_{11} \oplus (B_{22} - X^* B_{11} X)
が成り立つ（参照：7.1.P28）。さらに単位行列 \( U_1 \in M_r \) および \( U_2 \in M_{n-r} \) が存在して
U_1^* B_{11} U_1 = \Lambda_1, \quad U_2^* (B_{22} - X^* B_{11} X) U_2 = \Lambda_2
が実対角行列となる。ここで \( U = U_1 \oplus U_2 \)、\(\Lambda = \Lambda_1 \oplus \Lambda_2\)、\( S = T R U \) とすると、次が成り立つ：
S^{-1} A S^{-*} = I_r \oplus 0_{n-r}, \quad S^* B S = \Lambda
演習. 前定理の (a) の証明において、1つの選択肢として \( T = A^{1/2} \) とできる理由を説明せよ。このとき \( S = A^{1/2} U \) とおくと、\( U \) は \( A^{1/2} B A^{1/2} = U \Lambda U^* \) のスペクトル分解を与える任意の単位行列でよい。もし \( A \) と \( B \) が実行列なら、この観察を用いて \( S \) を実行列として選べることを示せ。
この定理は行列積に関するいくつかの問題への直接的な応用を持つ。
行列解析の総本山
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