[行列解析7.5.1]定義：アダマール積とシュール積定理

7.5.1アダマール積とシュール積定理
行列解析の総本山

7.5.1アダマール積とシュール積定理

定義 7.5.1　\( A = [a_{ij}] \in M_{m,n} \)、\( B = [b_{ij}] \in M_{m,n} \) のとき、\( A \) と \( B \) の アダマール積（Schur積） は、成分ごとの積で構成される行列 \( A \circ B = [a_{ij} b_{ij}] \in M_{m,n} \) で定義される。

通常の行列積と同様に、アダマール積は加法に対して分配法則を満たす： \( A \circ (B + C) = (A \circ B) + (A \circ C) \)。しかし通常の行列積とは異なり、アダマール積は可換である： \( A \circ B = B \circ A \)。

アダマール積は、いくつかの異なる観点から自然に現れる。たとえば、\( f \) と \( g \) が実数値の連続周期関数（周期 \( 2\pi \)）であるとし、

a_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{ik\theta} f(\theta) \, d\theta, \quad b_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{ik\theta} g(\theta) \, d\theta, \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots

をそれぞれの三角モーメント（フーリエ係数）とする。このとき、畳み込み積

h(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\theta - t) g(t) \, dt

のフーリエ係数 \( c_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{ik\theta} h(\theta) \, d\theta \) は次の関係を満たす： \( c_k = a_k b_k \)（\( k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \)）。したがって、関数 \( h \) の三角モーメントのテプリッツ行列は、\( f \) と \( g \) のテプリッツ行列のアダマール積になる：

[c_{i-j}] = [a_{i-j}] \circ [b_{i-j}]

もし \( f \) と \( g \) がともに非負の実数値関数であれば、その畳み込みも非負の実数値関数となる。したがって、(7.0.4.1) で示されているように、行列 \( [a_{i-j}] \)、\( [b_{i-j}] \)、および \( [c_{i-j}] \) はすべて半正定値である。これは次の事実を示す例である。「シュール積定理： 半正定値行列のアダマール積は半正定値である」。

次に、積分作用素

K(f) = \int_a^b K(x, y) f(y) \, dy

を考える。ただし \( f \in C[a, b] \)、\( K(x, y) \) は有限区間 \([a, b] \times [a, b]\) 上の連続関数とする。もう一つの核 \( H(x, y) \) も同様の条件を満たすと仮定する。このとき、(点ごとの) 積核 \( L(x, y) = K(x, y)H(x, y) \) を定義し、それに対応する積分作用素

L(f) = \int_a^b L(x, y) f(y) \, dy = \int_a^b K(x, y)H(x, y) f(y) \, dy

を考える。写像 \( f \mapsto K(f) \) は行列とベクトルの積の極限（積分を有限リーマン和で近似する）と見なすことができるため、積分作用素の多くの性質は行列に対する結果の極限として導出できる。積分核の点ごとの積は、行列におけるアダマール積の連続的な類似とみなせる。

積分核 \( K(x, y) \) が次を満たすとき、

\int_a^b \int_a^b K(x, y) f(x) \overline{f(y)} \, dx \, dy \ge 0

任意の \( f \in C[a, b] \) に対して、\( K(x, y) \) は半正定値核と呼ばれる。古典的な結果（メルサーの定理）によると、連続な半正定値核 \( K(x, y) \) は次の展開をもつ：

K(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i \, \phi_i(x) \, \overline{\phi_i(y)}

ここで、\( \lambda_i \gt 0 \) は「固有値」、\( \phi_i(x) \) は「固有関数」と呼ばれる。この級数は絶対収束かつ一様収束する。

同様に、\( H(x, y) \) も半正定値核であれば、

H(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu_i \, \psi_i(x) \, \overline{\psi_i(y)}, \quad \mu_i \gt 0

と表される。すると、点ごとの積核 \( L(x, y) = K(x, y)H(x, y) \) は

L(x, y) = \sum_{i, j=1}^{\infty} \frac{\phi_i(x)\psi_j(x) \, \overline{\phi_i(y)\psi_j(y)}}{\lambda_i \mu_j}

と書け、この級数も絶対かつ一様収束する。このとき、

\int_a^b \int_a^b L(x, y) f(x) \overline{f(y)} \, dx \, dy = \sum_{i, j=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_i \mu_j} \left| \int_a^b \phi_i(x)\psi_j(x) f(x) \, dx \right|^2 \ge 0

よって、\( L(x, y) \) も半正定値である。これもまたシュール積定理の一例である。

演習1： 2つのエルミート行列の通常の行列積がエルミートであるのは、それらが可換である場合に限る。2つのエルミート行列のアダマール積は常にエルミートであることを示せ。

演習2： \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) とする。\( A, B, A \circ B \) が正定値であることを示せ。ただし \( AB \) は対称ではないため半正定値ではない。\( AB \) が対角化可能で正の固有値をもつことを確認せよ。これは偶然か？（ヒント：7.2.P21）

アダマール積に対応する半双線形形式（sesquilinear form）は、通常の行列積のトレースとして簡潔に表現できる。

演習3： \( A = [a_{ij}], B = [b_{ij}] \in M_n \) に対して、次を確認せよ：