[行列解析7.4.7.1]対称ゲージ関数とユニタリ不変ノルムの対応

7.4.7.1 対称ゲージ関数とユニタリ不変ノルムの対応
行列解析の総本山

7.4.7.1 対称ゲージ関数とユニタリ不変ノルムの対応

定義 7.4.7.1.

関数 \( g : \mathbb{C}^q \to \mathbb{R}^+ \) が対称ゲージ関数（symmetric gauge function）であるとは、それが絶対ベクトルノルムであり、すべての \( x \in \mathbb{C}^q \) および任意の置換行列 \( P \in M_q \) に対して \( g(x) = g(Px) \) が成り立つときにいう。

これまでの議論から、任意のユニタリ不変ノルムは \(\mathbb{M}_{m,n}\) 上で定義され、対応する対称ゲージ関数が \(\mathbb{C}^q\) 上に存在することがわかる。次の定理の興味深い部分は、逆にすべてのユニタリ不変ノルムが対称ゲージ関数によって一意に決定されるという点にある。すなわち、\(\mathbb{M}_{m,n}\) 上のユニタリ不変ノルムと \(\mathbb{C}^q\) 上の対称ゲージ関数との間には、1対1の対応関係が存在する。