[行列解析7.4.4]単位行列のスカラー倍による最良近似

7.4.4 単位行列のスカラー倍による最良近似

ここでは、与えられた行列 \( A \in M_n \) を単位行列のスカラー倍で最もよく近似する（最小二乗誤差の意味で）方法について考える。

式 (7.4.1.3a) を用いると、任意のユニタリ行列 \( U \in M_n \) と任意のスカラー \( c \in \mathbb{C} \) に対して次の関係が成り立つ。

\|A - cU\|_2^2 \ge \sum_{i=1}^{n} (\sigma_i(A) - \sigma_i(cU))^2 = \sum_{i=1}^{n} (\sigma_i(A) - |c|\sigma_i(U))^2 = \sum_{i=1}^{n} (\sigma_i(A) - |c|)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A) - 2|c|\sum_{i=1}^{n}\sigma_i(A) + n|c|^2

この式の右辺は、\(|c|\) を変数とする二次式であり、最小値を与えるのは

|c| = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A) = \mu

である。この \(\mu\) は、行列 \(A\) の特異値の平均値である。

したがって、このとき得られる下限は次のようになる。

\|A - cU\|_2^2 \ge \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A) - n\mu^2 = \sum_{i=1}^{n} (\sigma_i(A) - \mu)^2

これは任意のユニタリ行列 \( U \in M_n \) に対して成り立つ。もし \( cU \) が最小化を達成するならば、\((cU)^{*}A\) は半正定値行列でなければならない。

極分解（polar decomposition）\(A = PU_0\) を考えると、ユニタリ因子 \(U_0\) が良い候補になることが示唆される。実際に計算すると、

\operatorname{tr} P = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A) = n\mu

また、

\|PU_0 - \mu U_0\|_2^2 = \|P - \mu I\|_2^2 = \operatorname{tr}(P^2) - 2\mu \operatorname{tr}(P) + n\mu^2 = \|A\|_2^2 - 2n\mu^2 + n\mu^2 = \|A\|_2^2 - n\mu^2

したがって、最小二乗誤差の意味で、\(A\) を単位行列のスカラー倍で最もよく近似するのは

\left(\frac{1}{n} \operatorname{tr} P\right) U_0 = \mu U_0

である。すなわち、極分解 \(A = PU_0\) のユニタリ因子 \(U_0\) に、\(A\) の特異値の平均 \(\mu\) を掛けたものが、単位行列のスカラー倍による最良の近似となる。