[行列解析7.3.P6]

7.3.問題6

\( B \in M_n(\mathbb{R}) \) とし、任意の \( t \in \mathbb{R} \) に対して

A(t) = \begin{bmatrix} B & x \\ y^{*} & t \end{bmatrix} \in M_{n+1}(\mathbb{R})

と定める。ただし、\( B, x, y \) のうち少なくとも1つは零でないものとする。さらに

\mu = \max\{\sigma_1\!\left( \begin{bmatrix} B \\[3pt] y^{*} \end{bmatrix} \right), \sigma_1([B \; x])\}

とおく。

(a) すべての \( t \) に対して \( \sigma_1(A(t)) \ge \mu \gt 0 \) が成り立つこと、またある \( t_0 \in \mathbb{R} \) が存在して

\sigma_1(A(t_0)) = \min_{t \in \mathbb{R}} \sigma_1(A(t)) \gt 0

となることを説明せよ。

(b) \( \sigma_1(A(t_0)) \) が \( A(t_0) \) の単純な特異値でない場合、なぜ \( \mu = \sigma_1(A(t_0)) \) となるのかを説明せよ。