[行列解析7.3.P39]

7.3.問題39
- 7.3.P39　
行列解析の総本山

7.3.問題39

7.3.P39　

\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \) および \( M = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_r) \) とする。ただし \( |\lambda_i| = |\mu_i| = 1 \)（\( i = 1, \ldots, r \)）。\( D = \Lambda \oplus 0_{n-r} \), \( E = M \oplus 0_{n-r} \) とする。また \( S = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \in M_n \) は非特異で、\( D = S E S^* \) とする。

(a) \( S_{11} \) は非特異であり、かつ \( \Lambda = S_{11} M S_{11}^* \) であることを示せ。

(b) \( P \in M_r \) を置換行列とすると、\( D = P M P^T \) となることを示せ。