7.3.8定理：特異値の最小最大表現（Courant–Fischer型定理）
\( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{n, m\} \) とする。 さらに、\( A \) の特異値を \( \sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_q(A) \) とする。 \( k \in \{1, \ldots, q\} \) に対して、次が成り立つ。
(7.3.9)
\sigma_k(A) =
\min_{\substack{S:\dim S = m - k + 1}}
\max_{\substack{x \ne 0,\, x \in S}}
\frac{\lVert A x \rVert_2}{\lVert x \rVert_2}
および
(7.3.10)
\sigma_k(A) =
\max_{\substack{S:\dim S = k}}
\min_{\substack{x \ne 0,\, x \in S}}
\frac{\lVert A x \rVert_2}{\lVert x \rVert_2}
（証明）これらの特徴づけは、式 (4.2.7) および (4.2.8) から導かれる。 もし \( \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_m \) が、半正定値エルミート行列 \( A^{*}A \) の順序付き固有値であるならば、 次が成り立つ：
\sigma_k^2(A) = \lambda_{m - k + 1}(A^{*}A)
さらに、式 (4.2.7) により次が得られる。
\sigma_k^2(A)
= \lambda_{m - k + 1}(A^{*}A)
= \min_{\substack{S:\dim S = m - k + 1}}
\max_{\substack{x \ne 0,\, x \in S}}
\frac{x^{*}A^{*}A x}{x^{*}x}
= \min_{\substack{S:\dim S = m - k + 1}}
\max_{\substack{x \ne 0,\, x \in S}}
\frac{\lVert A x \rVert_2^2}{\lVert x \rVert_2^2}
2つ目の等式（式 (7.3.10)）も同様の方法で証明される。
（演習1）\( A \in M_n \) とする。任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \lVert A x \rVert_2 \le \sigma_1(A)\lVert x \rVert_2 \) が成り立つことを説明せよ。 （ヒント：式 (5.6.2b)）
（演習2）\( A, B \in M_n \) とする。上の定理を用いて、各 \( k = 1, \ldots, n \) に対して \( \sigma_k(AB) \le \sigma_1(A)\sigma_k(B) \) が成り立つことを示せ。
この節の最後の定理は、有用な基本原理を述べるものである。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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