3.1.11
定理 3.1.11.
\(A \in M_n\) が与えられているとする。このとき、正則行列 \(S \in M_n\)、正の整数 \(q\) および \(n_1, \ldots, n_q\) （ただし \(n_1 + n_2 + \cdots + n_q = n\)）、さらにスカラー \(\lambda_1, \ldots, \lambda_q \in \mathbb{C}\) が存在して、次が成り立つ。
A = S
\begin{bmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1) & & \\
& \ddots & \\
& & J_{n_q}(\lambda_q)
\end{bmatrix}
S^{-1}
\tag{3.1.12}
このとき、ジョルダン行列 \(J_A = J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_q}(\lambda_q)\) は、直和因子の順列を除いて \(A\) によって一意に定まる。もし \(A\) が実行列であり固有値がすべて実数であるならば、\(S\) を実行列として選ぶことができる。
上の定理に現れるジョルダン行列 \(J_A\) は（直和因子の順列を除いて）\(A\) のジョルダン標準形である。行列 \(J_k(\lambda)\)（\(\lambda \in \mathbb{C}, k = 1,2,\ldots\)）は、相似に関する標準ブロックである。
ジョルダン標準形の定理における一意性を理解する鍵は次の2点にある：(1) 2つの行列に同じスカラー行列を加えても相似性は保たれること、(2) 階数は相似不変量であること。
もし \(A, B, S \in M_n\)、\(S\) が正則で \(A = S B S^{-1}\) ならば、任意の \(\lambda \in \mathbb{C}\) に対して次が成り立つ。
A - \lambda I = S B S^{-1} - \lambda S S^{-1} = S(B - \lambda I)S^{-1}
さらに、任意の \(k = 1, 2, \ldots\) に対して \((A - \lambda I)^k\) と \((B - \lambda I)^k\) は相似であり、特にそれらの階数は等しい。ここで \(B = J = J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_q}(\lambda_q)\) が \(A\) と相似なジョルダン行列であり（定理 (3.1.12) による存在）、\(\lambda\) が \(A\) の固有値である場合を考える。
ジョルダン行列 \(J\) の対角ブロックを順列変換（順列相似）することにより、次の形にできる：
J = J_{m_1}(\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{m_p}(\lambda) \oplus \hat{J}
ここで \(\hat{J}\) は固有値が \(\lambda\) と異なるジョルダンブロックの直和である。このとき \(A - \lambda I\) は次の行列と相似である：
\begin{aligned}
J - \lambda I &= (J_{m_1}(\lambda) - \lambda I) \oplus \cdots \oplus (J_{m_p}(\lambda) - \lambda I) \oplus (\hat{J} - \lambda I) \\
&= J_{m_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{m_p}(0) \oplus (\hat{J} - \lambda I)
\end{aligned}
これは、大きさの異なる \(p\) 個の冪零ジョルダンブロックと、非特異なジョルダン行列 \(\hat{J} - \lambda I \in M_m\) の直和である。ここで \(m = n - (m_1 + \cdots + m_p)\) である。
さらに、各 \(k = 1, 2, \ldots\) に対して、\((A - \lambda I)^k\) は次の行列と相似である：
(J - \lambda I)^k = J_{m_1}(0)^k \oplus \cdots \oplus J_{m_p}(0)^k \oplus (\hat{J} - \lambda I)^k
直和の階数は各成分の階数の総和である（式 (0.9.2)）。
したがって次が成り立つ：
\begin{aligned}
\operatorname{rank}(A - \lambda I)^k
&= \operatorname{rank}(J - \lambda I)^k \\
&= \operatorname{rank} J_{m_1}(0)^k + \cdots + \operatorname{rank} J_{m_p}(0)^k + \operatorname{rank}(\hat{J} - \lambda I)^k \\
&= \operatorname{rank} J_{m_1}(0)^k + \cdots + \operatorname{rank} J_{m_p}(0)^k + m \\
\text{for} \quad k=1,2,\cdots
\end{aligned}
冪零ジョルダンブロックのべき乗の階数はどうなるでしょうか？式 (3.1.2) を見ると、\(J_\ell(0)\) の最初の列はゼロであり、最後の \(\ell - 1\) 列は一次独立であることが分かります（非零成分は第1超対角線上の1のみ）。したがって \(\operatorname{rank} J_\ell(0) = \ell - 1\) です。
\(J_\ell(0)^2\) の非零成分は第2超対角線上の1のみなので、最初の2列はゼロ、最後の \(\ell - 2\) 列は一次独立であり、\(\operatorname{rank} J_\ell(0)^2 = \ell - 2\) です。このように、累乗を1つ重ねるごとに1つ上の超対角線に1が移動し、ゼロ列の数が1増え、階数が1減っていきます。最終的に \(J_\ell(0)^{\ell-1}\) は位置 \((1,\ell)\) に1を持つだけとなり、\(\operatorname{rank} J_\ell(0)^{\ell-1} = 1 = \ell - (\ell - 1)\) です。もちろん \(k = \ell, \ell+1, \ldots\) に対して \(J_\ell(0)^k = 0\) です。
一般に、各 \(k = 1,2,\ldots\) に対して
\operatorname{rank} J_\ell(0)^k = \max\{\ell - k, 0\}
したがって次を得ます：
\operatorname{rank} J_\ell(0)^{k-1} - \operatorname{rank} J_\ell(0)^k =
\begin{cases}
1 & \text{if } k \leq \ell \\
0 & \text{if } k \gt \ell
\end{cases}, \quad k = 1,2,\ldots
\tag{3.1.14}
ここで標準的な約束として \(\operatorname{rank} J_\ell(0)^0 = \ell\) とします。
次に \(A \in M_n\)、\(\lambda \in \mathbb{C}\)、正の整数 \(k\) をとり、
r_k(A,\lambda) = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k,
\quad r_0(A,\lambda) := n
\tag{3.1.15}
を定め、さらに
w_k(A,\lambda) = r_{k-1}(A,\lambda) - r_k(A,\lambda),
\quad w_1(A,\lambda) := n - r_1(A,\lambda)
\tag{3.1.16}
を定義します。
演習.
\(A \in M_n\) で、\(\lambda \in \mathbb{C}\) が \(A\) の固有値でないとき、すべての \(k = 1,2,\ldots\) に対して \(w_k(A,\lambda) = 0\) であることを説明しなさい。
演習.
次のジョルダン行列を考える：
J = J_3(0) \oplus J_3(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_1(0)
\tag{3.1.16a}
このとき、\(r_1(J,0) = 7\)、\(r_2(J,0) = 2\)、\(r_3(J,0) = r_4(J,0) = 0\) であることを確認しなさい。また、\(w_1(J,0) = 6\) はサイズ1以上のブロックの数、\(w_2(J,0) = 5\) はサイズ2以上のブロックの数、\(w_3(J,0) = 2\) はサイズ3以上のブロックの数、\(w_4(J,0) = 0\) はサイズ4以上のブロックの数であることを確かめなさい。さらに、\(w_1(J,0) - w_2(J,0) = 1\) がサイズ1のブロックの数、\(w_2(J,0) - w_3(J,0) = 3\) がサイズ2のブロックの数、\(w_3(J,0) - w_4(J,0) = 2\) がサイズ3のブロックの数であることを観察しなさい。これは偶然ではありません。
演習.
式 (3.1.13) と (3.1.14) を用いて \(w_k(A,\lambda)\) の代数的意味を説明しなさい：
w_k(A,\lambda) =
\bigl(\operatorname{rank} J_{m_1}(0)^{k-1} - \operatorname{rank} J_{m_1}(0)^k \bigr)
+ \cdots +
\bigl(\operatorname{rank} J_{m_p}(0)^{k-1} - \operatorname{rank} J_{m_p}(0)^k \bigr)
= (1 \text{ if } m_1 \geq k) + \cdots + (1 \text{ if } m_p \geq k)
\tag{3.1.17}
= 固有値 \(\lambda\) を持つサイズ \(k\) 以上のブロックの個数
特に、\(w_1(A,\lambda)\) は固有値 \(\lambda\) を持つあらゆるサイズのジョルダンブロックの数であり、これは固有値 \(\lambda\) の幾何的重複度に等しい。
表現 (3.1.17) を用いると、\(w_k(A, \lambda) - w_{k+1}(A, \lambda)\) は、固有値 \(\lambda\) を持ち、大きさが少なくとも \(k\) であるが少なくとも \(k+1\) ではないブロックの数であることがわかる。つまり、固有値 \(\lambda\) を持ち、大きさがちょうど \(k\) のブロックの数を表す。
演習.
\(A, B \in M_n\)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。もし \(A\) と \(B\) が相似であるなら、すべての \(k = 1, 2, \ldots\) に対して \(w_k(A, \lambda) = w_k(B, \lambda)\) が成り立つことを説明せよ。
演習.
\(A \in M_n\)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。なぜ \(w_1(A, \lambda) \geq w_2(A, \lambda) \geq w_3(A, \lambda) \geq \cdots\)、すなわち数列 \(w_1(A, \lambda), w_2(A, \lambda), \ldots\) が非増加列となるかを説明せよ。
ヒント: \(w_k(A, \lambda) - w_{k+1}(A, \lambda)\) は常に非負整数である。なぜか？
演習.
\(A \in M_n\)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。\(q\) を固有値 \(\lambda\) に対応する \(A\) の最大サイズの Jordan ブロックの大きさとし、階数の恒等式 (3.1.13) を考える。このとき次を説明せよ。
(a) \( \mathrm{rank}(A - \lambda I)^k = \mathrm{rank}(A - \lambda I)^{k+1} \) がすべての \(k \geq q\) で成り立つこと。
(b) \(w_q(A, \lambda)\) が、固有値 \(\lambda\) を持ち最大サイズ \(q\) の Jordan ブロックの個数であること。
(c) すべての \(k \gt q\) に対して \(w_k(A, \lambda) = 0\) であること。この整数 \(q\) を、\(A\) における固有値 \(\lambda\) の指数（index）と呼ぶ。
演習.
\(A \in M_n\)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。固有値 \(\lambda\) の指数は、最小の整数 \(k \geq 0\) で \(\mathrm{rank}(A - \lambda I)^k = \mathrm{rank}(A - \lambda I)^{k+1}\) を満たすものとして同値的に定義できることを説明せよ。重要な点: なぜこのような最小整数は必ず存在するのか？
演習.
\(A \in M_n\)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。もし \(\lambda\) が \(A\) の固有値でなければ、その指数が 0 であることを説明せよ。
上記の演習により、(3.1.16) で定義された数列 \(w_1(A, \lambda), w_2(A, \lambda), \ldots\) の項のうち非ゼロであるものは有限個しかないことが保証される。非ゼロ項の個数が、\(A\) における固有値 \(\lambda\) の指数である。
演習.
\(A \in M_n\) とし、\(\lambda\) を固有値とし、その指数を \(q\) とする。このとき次を説明せよ。
(a) \(w_1(A, \lambda)\) が \(\lambda\) の幾何的重複度（Jordan 標準形における固有値 \(\lambda\) を持つ Jordan ブロックの個数）であること。
(b) \(w_1(A, \lambda) + w_2(A, \lambda) + \cdots + w_q(A, \lambda)\) が \(\lambda\) の代数的重複度（固有値 \(\lambda\) を持つすべての Jordan ブロックのサイズの和）であること。
(c) 各 \(p = 2, 3, \ldots, q\) に対して、\(w_p(A, \lambda) + w_{p+1}(A, \lambda) + \cdots + w_q(A, \lambda) = \mathrm{rank}(A - \lambda I)^{p-1}\) が成り立つこと。
\(A \in M_n\) に対し、\(\lambda \in \mathbb{C}\) に対応する Weyr 特性は次で与えられる。
w(A, \lambda) = (w_1(A, \lambda), \ldots, w_q(A, \lambda))
ここで数列 \(w_1(A, \lambda), w_2(A, \lambda), \ldots\) は (3.1.16) により定義され、\(q\) は固有値 \(\lambda\) の指数である。しばしば数列そのものを、\(\lambda\) に対応する \(A\) の Weyr 特性と呼ぶこともある。
すでに見たように、\(A\) と相似な Jordan 行列 \(J\) の構造は、固有値ごとの \(A\) の Weyr 特性によって完全に決定される。すなわち、\(\lambda\) が \(A\) の固有値であり、\(J\) が \(A\) と相似な Jordan 行列であるならば、\(J\) における Jordan ブロック \(J_k(\lambda)\) の個数は、すべての \(k = 1, 2, \ldots\) に対してちょうど \(w_k(A, \lambda) - w_{k+1}(A, \lambda)\) である。
これは、ある固有値に対して非増加順に並べたブロックサイズのリストが一致しないような、本質的に異なる Jordan 行列が、同じ行列 \(A\) と相似になることはあり得ないことを意味する。なぜなら、それらの Weyr 特性が異なるからである。したがって、(3.1.11) の一意性部分と、それ以上のことがすでに証明されたことになる。
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