2.1.問題142.1.問題14\( M_n \) におけるユニタリ行列の群と、複素直交行列の群の交差が、実直交行列の群であることを示せ。

2.1.問題132.1.問題13\( \mathrm{diag}(2, \tfrac{1}{2}) \in M_2 \) を考える。ユニタリ行列と相似な行列の集合が、\( A^{-1} \) が \( A^* \) と相似であるようなすべて...

2.1.問題122.1.問題12\( A \in M_n \) があるユニタリ行列と相似であるならば、\( A^{-1} \) は \( A^* \) と相似であることを示せ。

2.1.問題112.1.問題11正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、\( A^{-1} = -A^T \) が成り立つときである。以下を示せ：\( A \) が斜直交 ⇔ \(...

2.1.問題102.1.問題10\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( x \) と \( y \) が直交している ⇔ \( Ux \) と \...

2.1.問題92.1.問題9\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、\( \overline{U}, U^T, U^* \) もすべてユニタリであることを示せ。

2.1.問題82.1.問題8\( A \in M_n \) が複素直交行列とは \( A^T A = I \) を満たすときである。複素直交行列がユニタリであるための必要十分条件は、それが実行列であることであることを示せ。\( S =\be...

2.1.問題72.1.問題7\( A, B \in M_n \)、かつ \( AB = I \) と仮定する。このとき \( BA = I \) を導く議論を詳細に示せ：任意の \( y \in \mathbb{C}^n \) は \( y...

2.1.問題62.1.問題63×3直交群のパラメトリックな表示を与えよ。2×2直交群の2つの表示は (2.1.5) に続く演習に示されている。

2.1.問題52.1.問題5\( M_n \) における置換行列（0.9.5）が実直交行列の群の部分群（つまり自分自身が群となる部分集合）であることを示せ。\( M_n \) における異なる置換行列は何通りあるか？

2.1.問題42.1.P4 対角実直交行列の特徴づけを与えよ。

2.1.問題32.1.P3 実パラメータ \(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n\) が与えられたとき、U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \...

2.1.問題22.1.P2 \(U \in M_n\) をユニタリ行列とし、\(\lambda\) を \(U\) の固有値とする。このとき次を示せ。 (a) \(|\lambda| = 1\)。 (b) ベクトル \(x\) が \(\l...

2.1.問題12.1.P1 もし \(U \in M_n\) がユニタリであるならば、\(|\det U| = 1\) を示せ。

2.1.18定理 2.1.18. もし \(X = \in M_{n,k}\)、\(Y = \in M_{n,k}\) が直交正規な列を持つならば、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(Y = U X\) が成り立つ...

2.1.14定理定理 2.1.14 (QR分解). \( A \in M_{n,m} \) とする。(a) \( n \geq m \) のとき、直交正規な列をもつ \( Q \in M_{n,m} \) と、対角成分が非負の上三角行列 \...

2.1.13定理 2.1.13. \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与えられたとし、\(\|x\|_2 = \|y\|_2 > 0\) と仮定する。もし \( y = e^{i\theta} x \) （ある実数 \...

2.1.12例例 2.1.12. ハウスホルダー行列. \( w \in \mathbb{C}^n \) をゼロでないベクトルとする。ハウスホルダー行列 \( U_w \in M_n \) は次のように定義される：U_w = I - 2 (...

2.1.11例 2.1.11. 平面回転. \(1 \leq \lt j \leq n\) とする。このとき、次の行列を定義する：U(\theta; i, j) =\begin{bmatrix}1 & & & & & \\ & \ddots...

2.1.10補題 2.1.10. ユニタリ行列 \( U \in M_n \) を次のように分割する：U = \begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}ただし ...

2.1.9定理 2.1.9. \( A \in M_n \) が正則（非特異）であるとする。このとき、\( A^{-1} \) が \( A^{*} \) に相似であるのは、ある正則行列 \( B \in M_n \) が存在して \( A...

2.1.8補題 2.1.8. \( U_1, U_2, \ldots \in M_n \) をユニタリ行列の無限列とする。このとき、無限部分列 \( U_{k_1}, U_{k_2}, \ldots \) （ただし \( 1 \leq k_...

2.1.7観察 2.1.7. \( M_n \) におけるユニタリ行列（あるいは実直交行列）の集合は群を成す。この群は一般に、\( n \times n \) ユニタリ群（あるいは実直交群）と呼ばれ、\( GL(n, \mathbb{C})...

2.1.6観察 2.1.6\( U, V \in M_n \) がユニタリ行列（あるいは実直交行列）であるとき、積 \( UV \) もまたユニタリ行列（あるいは実直交行列）になります。演習問題定理2.1.4の(b)を使って、観察2.1.6...

2.1.5定義 2.1.5（ユークリッド等距変換）線形変換 \( T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \|x...

定理 2.1.4. \(U \in M_n\) のとき、以下は同値である：(a) \(U\) はユニタリである。(b) \(U\) は正則で、かつ \(U^* = U^{-1}\) である。(c) \(UU^* = I\) である。(d) ...

2.1.3定義 2.1.3ユニタリ・実直交行列\( U \in M_n \) が「ユニタリ」であるとは、\( U^* U = I \) を満たすことである。\( U \in M_n(\mathbb{R}) \) が「実直交行列」であるとは、...

2.1.2定理 2.1.2任意の直交正規なベクトル列は線形独立である。証明\( \{x_1, \ldots, x_k\} \) が直交正規であると仮定し、次のような線形結合がゼロになるとする： 0 = \alpha_1 x_1 + \cdo...

2.1.1.定義定義 2.1.1ベクトルの列 \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) が「直交する」とは、すべての \( i \ne j \) に対して \( x_i^* x_j = 0 \) が成り...