7.2.問題207.2.P20　\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。定理 4.5.8 によれば、非特異な行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A = S B S^* \) となる。(a) \( S =...

7.2.問題197.2.P19　\( A \in M_n \) を正定値、\( x \in \mathbb{C}^n \) を単位ベクトルとする。 (a) \((x^* A x)^{-1} \le x^* A^{-1} x\) であり、等号...

7.2.問題187.2.P18　\( A \in M_n \) が正則である場合、次の行列B = A + A^{-*}が正則であることを示せ。

7.2.問題177.2.P17　\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が正定値であるとする。このときC = A + B + B^* + B A^{-1} B^*が半正定値であることを示せ。\( n = 1 \) の場合...

7.2.問題167.2.P16　\( A \in M_n \) を正定値で、スカラー行列でないとする。スペクトルノルムに対する条件数 \(\kappa(A + t I)\) が \( t \in [0, \infty) \) に関して単調減...

7.2.問題157.2.P15　\( A \in M_n \) を半正定値とし、固有値を \(\mu_1 \le \cdots \le \mu_n\) とする。\( z \in \mathbb{C}^n \) は 0 でないベクトルとする。...

7.2.問題147.2.P14　\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（ガウス行列とも呼ばれる）G(r,n) = _{i,j=1}^{n} \in M_nを考える。次の手順で \( D_n...

7.2.問題137.2.P13　もし \( r = \pm 1 \) であるなら、前問のマルコフ行列 \( M(r,n) \) が対称かつ三重対角の逆行列を持つ理由を説明せよ。また、\((1 - r^2) M(r,n)^{-1}\) の主対...

7.2.問題127.2.P12　\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（マルコフ行列とも呼ばれる）をM(r,n) = _{i,j=1}^{n} \in M_n(\mathbb{R})とする...

7.2.問題117.2.P11　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。 (a) \( A \) が正定値であることは、\(\operatorname{adj} A\) が正定値かつ \(\det A \gt 0\) である...

7.2.問題107.2.P10　\( A \in M_n \) とする。定理 4.1.7 によれば、\( A \) はエルミート行列を用いて \( A^* \) と相似であることは、\( A \) が実行列と相似であることと同値である。さら...

7.2.問題97.2.P9　式 (7.2.7) の表現は、常に行が直交しフルランクの行列 \( B \) を用いて達成できる。(a) \( A \in M_n \) が半正定値であり、\( r = \operatorname{rank} A...

7.2.問題87.2.P8　正半定値または正定値行列は、エルミートであっても必ずしも半正定値でない平方根を持つことがある。また、非エルミートの平方根を持つこともある。次の行列の平方を計算せよ：\begin{bmatrix}a & b \\-...

7.2.問題77.2.P7　エルミート行列 \( A \) が負定値（または負半正定値）であるための、すべての小行列式の符号に関する必要十分条件を述べよ。

7.2.問題67.2.P6　\( n \ge 2 \) とし、\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( B \in M_{n-1} \) を \( A \) の首座主小行列とする。もし \( B \) が半正定値かつ \(\o...

7.2.問題5.P5　(a) 次の行列L_1 =\begin{bmatrix}2 & 0 \\1 & \sqrt{3}\end{bmatrix}が、正定値行列A_1 =\begin{bmatrix}4 & 2 \\2 & 4\end{bma...

7.2.問題47.2.P4　\( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その首座主小行列式（leading principal minor）がすべて正であるとする。このとき、(3.5.6b) で述べた \( A \) の LDU ...

7.2.問題37.2.P3　\( A = _{i,j=1}^{n} \) とし、\( R \) を主対角上およびその上の成分がすべて +1 である \( n \times n \) 上三角行列とする。(a) \( A = R^{T} R \...

7.2.問題27.2.P2　\( A \in M_n \) を半正定値行列、\( x \in \mathbb{C}^n \) とする。このとき、x^{*} A x = \| A^{1/2} x \|^{2}が成り立つことを示し、この恒等式か...

7.2.問題17.2.P1　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。すべての \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^{2k} \) が半正定値であること、また \( e^{A} \) が正定値であ...

7.2　問題集7.2.P1　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。すべての \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^{2k} \) が半正定値であること、また \( e^{A} \) が正定値であ...

7.2.10定理：グラム行列とその性質定理 7.2.10.　内積空間 \( V \) において、内積を \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) とし、ベクトル \( v_1, \ldots, v_m \) を...

7.2.9コレスキー分解と半正定値行列の特徴づけ系 7.2.9（コレスキー分解）　\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。このとき、\( A \) が半正定値（それぞれ、正定値）であることと、対角要素が非負（それぞれ、...

7.2.8系：エルミート行列の正定値性と合同エルミート行列 \( A \) が正定値であることと、\( A \) が単位行列に ∗合同（スター合同）であることは同値である。証明これは定理 (7.2.7) の単なる言い換えである。演習\( A...

7.2.7定理：半正定値行列の因数分解と階数の関係\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。(a) \( A \) が半正定値であることと、ある \( B \in M_{m,n} \) が存在してA = B^{*} Bが...

7.2.6定理：半正定値エルミート行列の k 乗根\( A \in M_n \) がエルミートかつ半正定値であるとし、\( r = \operatorname{rank} A \)、および \( k \in \{2, 3, \ldots\}...

7.2.5定理（シルベスターの判定法）\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。このとき、次のことが成り立つ。(a) もし \( A \) のすべての主小行列式（\(\det A\) を含む）が非負であるならば、\( A...

7.2.4 系：エルミート行列の特性多項式による半正定値の判定\( A \in M_n \) がエルミート行列であり、その特性多項式がp_A(t) = a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_{n-m}...

7.2.3半正定値行列の性質とゲルシュゴリンの定理による判定もしすべての \( i = 1, 2, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \gt 0 \) であるならば、行列 \( A \) は正定値である。証明これは (...

7.2.2　半正定値行列の累乗も半正定値であるもし \( A \in M_n \) が半正定値であるならば、各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^k \) もまた半正定値である。証明行列 \( A \) の固...