行列解析

5.6.問題335.6.P33任意の非特異行列 \(D\) に対して \(\rho(A) = \rho(D^{-1} A D)\) であることから、(5.6.P27) の方法を \(D^{-1} C(p) D\) に適用して、(5.6.45...

5.6.問題325.6.P32次の多項式を考える：\begin{align}& p(z) \notag = \frac{1}{n!} z^n + \frac{1}{(n-1)!} z^{n-1} \notag \\& \quad \quad...

5.6.問題315.6.P31前問の 4 問はいずれも \(p(z) = 0\) の根の絶対値の上限に関する問題であったが、これらは下限境界を得るためにも利用できる。もし \(p(z)\) が (5.6.45) で与えられ、\(a_0 \n...

5.6.問題305.6.P30上記の Montel の境界を用いて Kakeya の定理を示せ：もし多項式f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0の係数 \(a_i \ge...

5.6.問題295.6.P29 Montel の境界 (5.6.48) を多項式\begin{align}q(z) &= (z-1)p(z) \notag \\&= z^{n+1} + (a_{n-1}-1)z^n \notag \\ & ...

5.6.問題285.6.P28前問の記法を引き続き用い、(5.6.46) の境界を改善する。\( s = |a_0|^2 + |a_1|^2 + \dots + |a_{n-1}|^2 \) とおく。フロベニウスの同伴行列を \( C(p)...

5.6.問題275.6.P27 次のように次数が 1 以上の任意の多項式 \( f(z) \) は表せる：f(z) = \gamma z^k p(z)ここで \(\gamma\) は 0 でない定数であり、p(z) = z^n + a_{n...

5.6.問題265.6.P26\( A \in M_n \) で \(\rho(A) \lt 1\) のとき、ノイマン級数 \( I + A + A^2 + \dots \) が収束し、\((I - A)^{-1}\) に等しくなることを示...

5.6.問題255.6.P25 \( A \in M_n \) を循環行列（0.9.6.1）で、最初の行が \(\) であるとする。また \(\omega = e^{2\pi i/n}\) とする。次を示せ。|a_1 + \cdots + ...

5.6.問題245.6.P24 (5.6.P23) の境界 (5,2) が次のように改善されることを示せ。\lVert A \rVert_2 \le (\mathrm{rank}\, A)^{1/2} \lVert A \rVert_2

5.6.問題235.6.P23 以下の 6×6 の表の各成分が、すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert_\alpha \le C_{\alpha\beta} \lVert A \rVert_\...

5.6.問題225.6.P22行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が単位元ノルム（unital）であることは、すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert^D \ge |\m...

5.6.問題215.6.P21 任意の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) と \( A \in M_n \) に対して、次を示せ。\lVert A \rVert_2 \le \lVert A \rVert^{1/2}...

5.6.問題205.6.P20任意の \( A, B \in M_n \) に対して、\(\lVert AB \rVert_2 \le \lVert A \rVert_2 \lVert B \rVert_2\) および \(\lVert A...

5.6.問題195.6.P19スペクトル半径 \(\rho(\cdot)\) は非負、連続、斉次関数であるが、行列ノルム、ノルム、セミノルム、プレノルムではない。次の例を示せ： (a) \( \rho(A) = 0 \) となる非零行列 \...

5.6.問題185.6.P18(5.6.P17) の方法を、任意の非特異な上三角行列 \( A \in M_n \) の逆行列を求めるように一般化する方法を説明せよ。

5.6.問題175.6.P17 (5.6.P16) の考え方を用いて、次の行列の逆行列を求めよ。\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\0 & 1 & 3\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}

5.6.問題165.6.P16\( A = \in M_n \), \( n \ge 2 \) に対して、\(\lVert A \rVert = n \max_{i,j} |a_{ij}|\) と定義すると、この関数は誘導されない行列ノルム...

5.6.問題155.6.P15すべての行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して \(\rho(A) \lt \lVert A \rVert\) が成り立つ行列 \( A \) の例を挙げよ。

5.6.問題145.6.P14行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_\alpha\) と \(\lVert \cdot \rVert_\beta\) が与えられているとする。行列ノルム \(\lVert \cdot \rV...

5.6.問題135.6.P13\( A \in M_n \) が特異行列なら、任意の行列ノルムに対して \(\lVert I - A \rVert \ge 1\) が成り立つ理由を説明せよ。

5.6.問題125.6.P12\( A, B \in M_n \) および行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が与えられているとする。なぜ \(\lVert AB \pm BA \rVert \le 2 \lVert...

5.6.問題115.6.P11なぜ \(\lVert AA^* \rVert_2 = \lVert A^*A \rVert_2 = \lVert A \rVert_2^2\) が成り立つか説明せよ。

5.6.問題105.6.P10任意のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が \(\mathbb{C}^n\) 上に与えられているとする。任意の行列 \( A = \in M_n \) を列に沿って分割し、次を定義する...

5.6.問題95.6.P9任意の \( n \geq 1 \) に対して、\(\mathbb{C}^n\) 上のノルムの集合は凸集合であることを示せ。しかし、任意の \( n \geq 2 \) に対して、\( M_n \) 上の行列ノルム...

5.6.問題85.6.P8\( M_n \) の非特異行列は \( M_n \) の中で稠密であることを示せ。すなわち、任意の \( M_n \) の行列は非特異行列列の極限であることを示せ。特異行列は \( M_n \) で稠密だろうか。

5.6.問題75.6.P7(5.6.33.1) の構成を一般化せよ。\( N_1(\cdot), \ldots, N_m(\cdot) \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとし、\(\lVert \cdot \rVert\) を \...

5.6.問題65.6.P6行列ノルムの公理 (1)–(3) が (5.6.7) の \(\lVert \!|\cdot|\! \rVert_S\) に対しても成り立つことを確認せよ。したがって、「行列ノルム」という仮定と結論を「行列上のノル...

5.6.問題55.6.P5 \( \lVert \!|\cdot|\! \rVert_p \) を、\( \mathbb{C}^n \) 上の \( l_p \)-ノルム (\( p \geq 1 \)) によって誘導される行列ノルムとする...

5.6.問題45.6.P4(5.6.1) では同じノルムが2つの異なる方法で使われている。すなわち、\(x\) の大きさと \(Ax\) の大きさを測る場合である。より一般に、次のように定義することを考える。\lVert \!|A|\! \...