行列解析

5.2.問題35.2.P3\(\mathbb{C}^n\) 上の任意のセミノルムは、あるノルム \(\lVert \cdot \rVert\) とある \( S \in M_n\) によって \(\lVert \cdot \rVert_S\...

5.2.問題25.2.P2各 \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\lVert x \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \lVert x \rVert_pであることを示せ。

5.2.問題15.2.P1もし \(0 \lt p \lt 1\) ならば、\lVert x \rVert_p = \left( |x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{1/p}は \(\mathbb{C}^...

5.2.問題集5.2.P1 もし \(0 \lt p \lt 1\) ならば、\lVert x \rVert_p = \left( |x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{1/p}は \(\mathbb{C}...

5.1.注記さらなる参考文献.与えられたノルムが内積から導かれるための必要十分条件が平行四辺形恒等式であることを最初に証明したのは、P. Jordan と J. von Neumann によるものと思われる（On inner product...

5.1.問題155.1.P15 \( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。正の整数 \(m\) をとり、\(x_1, \ldots, x_m, z \in V\) とし、\(y = m^{-1}(x...

5.1.問題145.1.P14実数 \(x_1, \ldots, x_n\) が与えられているとする。その平均を \(\mu = n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i\)、分散を \(\sigma = \left( n^{-1}\s...

5.1.問題135.1.P13\( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。次のフラフな証明の詳細を補って、フラフカの不等式を示せ：\lVert x + y \rVert + \lVert x + z ...

5.1.問題125.1.P12次の証明のスケッチを詳しく示しなさい。すなわち、平行四辺形恒等式 (5.1.9) が、ある実または複素ベクトル空間に与えられたノルムが内積から導かれるための十分条件であることを示す。まず、実数体 \(\math...

5.1.問題115.1.P11\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであり、\(x, y \in V\) とする。このとき\|x+y\|^2 = \|x\|^...

5.1.問題105.1.P10(5.1.1) の公理 (1)（非負性）が公理 (2) と (3) から従うことを示せ。

5.1.問題95.1.P9\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムとし、\(x, y \in V\)、かつ \(y \neq 0\) とする。このとき：(a) \(\|x - \alpha y\|\) を最小化するスカラー \(...

5.1.問題85.1.P8\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x, y \in V\) に対して\|x+y\| \, \...

5.1.問題75.1.P7関数 \(\|x\|_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを示せ。ただしこれは偏角恒等式 (5.1.10) を満たさないので、いかなる...

5.1.問題65.1.P6 \(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x,y \in V\) に対して\mathrm{Re}\...

5.1.問題55.1.P5関数 \(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\) を \(\mathbb{C}^n\) 上で考える。これが内積から導かれないノルムであることを示せ。

5.1.問題45.1.P4\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムであるとする。 (a) すべての \(x, y \in V\) に対して次の平行四辺形恒等式が成立することを示せ：\frac{1}{2} \left( \|x+y...

5.1.問題35.1.P3\(V\) の非零ベクトル \(x, y\) を与える。部分空間 \(\mathrm{span}\{x\}\) と \(\mathrm{span}\{y\}\) の間の角度 \(\theta\) を次で定義する：\...

5.1.問題25.1.P2\(\|\cdot\|\) が \(V\) 上の半ノルムであるとする。このとき \(V_0 = \{v \in V : \|v\| = 0\}\) が \(V\) の部分空間（\(\|\cdot\|\) の零空間と...

5.1.問題15.1.問題集以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。1.P1\(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 ...

5.1.問題集以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。5.1.P1 \(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 \(i\...

定理 5.1.8定理 5.1.8. \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) を体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) における半...

系 5.1.7系 5.1.7. 内積 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に与えられているとする。このとき、関数 \(\| \cdot \| : V \to [0, ...

5.1.4定理 5.1.4（コーシー–シュワルツの不等式）. 内積 \((\cdot , \cdot)\) が体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) に与えら...

5.1.3定義定義 5.1.3. \(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像\((\cdot, \cdot): V \times V \to F\)...

5.1.2補題補題 5.1.2. 実または複素ベクトル空間 \(V\) 上で、\( \lVert \cdot \rVert \) がベクトルの半ノルムであるならば、すべての \(x, y \in V\) に対して次が成り立つ：\lvert ...

5.1.1実または複素ベクトル空間におけるノルムの4つの公理は次の通りである。定義 5.1.1 \(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像 \(\|...