行列解析

5.4.13補題 5.4.13. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のプレノルム \( f(\cdot) \) に対して、任意の \( x, y \in V \...

5.4.12定義 5.4.12. \( V = F^{n} \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のプレノルム \( f(\cdot) \) に対して、次の関数を 双対ノルム と呼ぶ：f...

5.4.11定義 5.4.11. ノルム付き線形空間 \( V \) が、そのノルム \(\|\cdot\|\) に関して完備であるとは、\( V \) 内の任意のコーシー列が必ず \( V \) の点に収束することをいう。演習問題. ベク...

5.4.10定理 5.4.10. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \( V \) 上に与えられたノルム \(\|\cdot\|\) を考える。ベクトルの数列 \(\{x^{(k)}\}\) が \( V \) のあるベクトルに収束するの...

5.4.9定義 5.4.9. ベクトル空間 \( V \) における数列 \(\{x^{(k)}\}\) が、あるノルム \(\|\cdot\|\) に関してコーシー列であるとは、任意の \(\varepsilon \gt 0\) に対して...

5.4.8系 5.4.8. \( V = F^n \) （ただし \( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）とし、\( f(\cdot) \) を \( V \) 上のプレノルムまたはノルムとする。...

ノルムの同値性と有限次元空間における収束の特徴ノルムの同値性の定義実または複素ベクトル空間上の2つのノルムが同値であるとは、あるベクトル列 \(\{x^{(k)}\}\) があるノルムに関してベクトル \(x\) に収束するとき、他方のノル...

5.4.6系 5.4.6. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) を考える。...

5.4.5系 5.4.5. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に与えられたノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) ...

5.4.4定理 5.4.4. \(f_{1}, f_{2}\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上の有限次元ベクトル空間 \(V\) 上で定義された実数値関数とする。\(B = ...

5.4.3この補題では、与えられたベクトル空間内の有限個のベクトルを用いて定義される関数が、一様連続であることを示します。補題 5.4.3. \( \| \cdot \| \) を体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) また...

5.4.2ここでは、関数列の収束性がノルムによってどのように異なるかを示す具体例を紹介します。有限次元の場合とは異なり、無限次元の空間では直感に反する現象が現れることがあります。例 5.4.2. 区間 \(\) 上の実数値または複素数値連続...

5.4.1定義 5.4.1. 実または複素ベクトル空間 \(V\) にノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が与えられているとする。ベクトルの数列 \(\{x^{(k)}\}\) がベクトル \(x \in V\) に...

5.3.問題25.3.P2\(m=2\) とする。次を示せ：\lVert x \rVert = |x_1 - x_2| + |x_2| \\\quad (x = ^T \in \mathbb{R}^2)は \( \mathbb{R}^2\)...

5.3.問題15.3.P1定理 (5.3.1) から、二つのノルムの和または最大値がノルムになることを導け。最小値（min）はどうか。（注）ここで「和」は \( \lVert x \rVert = \lVert x \rVert_{\alp...

5.3.問題集5.3.P1 定理 (5.3.1) から、二つのノルムの和または最大値がノルムになることを導け。最小値（min）はどうか。（注）ここで「和」は \( \lVert x \rVert = \lVert x \rVert_{\al...

5.2.参考文献.ミンコフスキーの不等式やその他の古典的不等式についての詳細な議論は Beckenbach and Bellman (1965) を参照せよ。また、(a) 等号が (5.2.1) において \(c=4\) で成立するのは \...

5.2.問題145.2.P14　\(A \in M_n\) とし、\(A = H + iK\)（ただし \(H, K\) はエルミート）と分解する（式 (0.2.5) 参照）。フロベニウスノルムにおける \(A\) の最良のエルミート近似、...

5.2.問題135.2.P13　前問の記法を用いると、(5.2.17) の上界は (5.2.9) の上界（最適値 \(c=4\)）以下であることを示せ。(5.2.18)\begin{align}& \Bigg\lVert \frac{x}{...

5.2.問題125.2.P12　前問の記法を用いると、(5.2.15) および (5.2.16) から次を導け。(5.2.17)\frac{\lVert x - y \rVert - \lvert \lVert x \rVert - \lV...

5.2.問題115.2.P11　\( \lVert \cdot \rVert \) を実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムとし、\(x, y \in V\) を零でないベクトルとする。このとき次を証明しなさい。(5.2.15)\...

5.2.問題105.2.P10　\(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。シュールの不等式 (2.3.2a) が次の形で書ける理由を説明しなさい。(5.2.12)\su...

5.2.問題95.2.P9 \(-\infty \lt a \lt b \lt \infty\) とし、\(V\) を区間 \(\) 上の連続実数値関数からなる実内積空間（内積 (5.2.8) を持つもの）とする。与えられた \(f,g \...

5.2.問題85.2.P8\(V\) を実または複素内積空間とし、\(u \in V\) を単位ベクトル（導出されたノルムに関して）とする。任意の \(x \in V\) に対してx_{\perp u} = x - \langle x, u...

5.2.問題75.2.P7\(\lVert \cdot \rVert\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムであるとする。(a) 任意の非零 \(x, y \in V\) に対して、(5.2.9)\left\lVert \f...

5.2.問題65.2.P6もし \(\lVert \cdot \rVert\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のユニタリ不変ノルムであるならば、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して\lVert x \rV...

5.2.問題55.2.P5\(x_0 \in \subset \mathbb{R}\) を与えられた点とする。このとき関数\lVert f \rVert_{x_0} = | f(x_0) |は \(C\) 上のセミノルムであるが、\(a \...

5.2.問題45.2.P4正の実数 \( w_1, \ldots, w_n \) が与えられ、\( p \geq 1\) とする。このとき加重 \(\ell_p\)-ノルム\lVert x \rVert = \left( w_1 |x_1|...