行列解析

5.6.17系 5.6.17. 行列 \(A = \in M_n\) が、すべての i = 1, …, n に対して|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|を満たす場合、行列 \(A\) は非特異である。証明....

5.6.16系 5.6.16. 行列 \(A \in M_n\) が、ある行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して \(\lVert I - A \rVert \lt 1\) を満たす場合、非特異（可逆）である。...

5.6.15定理 5.6.15. スカラーべき級数 \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k\) の収束半径を \(R\) とし、\(A \in M_n\) を与える。このとき、行列べき級数\sum_{k=0}^{\inf...

5.6.14系 5.6.14（ゲルファンドの公式）. \( \lVert \cdot \rVert \) を行列ノルムとし、\( A \in M_n \) とする。このとき、次が成り立つ：\rho(A) = \lim_{k \to \inf...

5.6.13系 5.6.13. \( A \in M_n \) と \( \epsilon \gt 0 \) が与えられたとする。このとき、ある定数 \( C = C(A, \epsilon) \) が存在して、全ての \( k = 1, ...

5.6.12定理 5.6.12. \( A \in M_n \) が与えられたとする。このとき、次が成り立つ：\( \lim_{k \to \infty} A^k = 0 \) は、スペクトル半径 \( \rho(A) \lt 1 \) の...

5.6.11補題 5.6.11. \( A \in M_n \) が与えられたとする。もし行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が存在して \( \lVert A \rVert \lt 1 \) であれば、次が成り...

5.6.10補題 5.6.10. \( A \in M_n \) および任意の \( \varepsilon > 0 \) が与えられたとする。このとき、スペクトル半径に対して次を満たす行列ノルム \( \lVert \cdot \rVer...

5.6.9定理 5.6.9. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとし、\( A \in M_n \)、および \( \lambda \) を \( A \) の固有値とする。このとき次...

5.6.7定理 5.6.7. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとし、\( S \in M_n \) が正則であるとする。このとき、すべての \( A \in M_n \) に対して次...

5.6.6例 5.6.6. スペクトルノルム \(\|\!|\cdot\|\!|_2\) は、\(M_n\) 上で次のように定義されます：\|\!|A\|\!|_2 = \sigma_1(A)ここで \(\sigma_1(A)\) は行列 ...

5.6.5例 5.6.5. 行列の最大行和ノルム \(\|\!|\cdot\|\!|_\infty\) は、\(M_n\) 上で次のように定義されます。\|\!|A\|\!|_\infty = \max_{1 \le i \le n} \s...

5.6.4例 5.6.4. 最大列和ノルム \( \lVert \cdot \rVert_{1} \) は、行列空間 \( M_{n} \) 上で次のように定義されます。\lVert A \rVert_{1} = \max_{1 \leq ...

5.6.3(5.6.1)\|\!|A\|\!| = \max_{\|x\|=1} \|Ax\|定義 5.6.3. (5.6.1) で定義された関数 \(\|\!|\cdot\|\!|\) を、ノルム \(\|\cdot\|\) から誘導され...

5.6.2定理 5.6.2. (5.6.1) で定義された関数 \(\|\!|\cdot\|\!|\) は次の性質をもつ。(a) \(\|\!|I\|\!| = 1\)(b) 任意の \(A \in M_n\)、\(y \in \mathb...

5.6.1定義 5.6.1. \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムを \(\|\cdot\|\) とする。行列空間 \(M_n\) 上に次のように定義された関数 \(\|\!|\cdot\|\!|\) を考える。\|\!|A\|\!...

5.5.参考文献ノルムの幾何学的側面についての詳細は Householder (1964) を参照せよ。双対定理の証明で用いたアイデア（ノルムまたはプレノルムの二重双対の単位球を、その単位球を含む全ての半空間の交差として同定すること）は、v...

5.5.問題115.5.P11 \(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{F}^n\) 上の弱単調ノルムとする：\|^T\| \le \|^T\| すべての \(x \in \mathbb{F}^n\) および \(k = 1, ...

5.5.問題105.5.P10 \(V = \mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) とし、\(k \in \{1, \dots, n\}\) とする。次のノルムを定義せよ：\|\cdot\|^{(k)} = ...

5.5.問題95.5.P9 \(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{F}^n\) (\(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\)) 上の絶対ノルムとし、\(z = \in \mathbb{F}^n\...

5.5.問題85.5.P8 \(f(\cdot)\) を \(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) 上のプレノルムとする。このとき、\(f^{DD}(\cdot)\) が \(f(\cdot)\) 以下で一...

5.5.問題75.5.P7 \(\|\cdot\|_{\alpha}\) および \(\|\cdot\|_{\beta}\) をベクトル空間上のノルムとし、\|x\| = \max \{ \|x\|_{\alpha}, \|x\|_{\be...

5.5.問題65.5.P6 \(x = \in \mathbb{R}^2\) に対して \(f(x) = |x_2|\) と定義する。このとき、\(f\) が \(\mathbb{R}^2\) 上のセミノルムであることを示せ。また、B = ...

5.5.問題55.5.P5 (5.5.8) において、\(\dim V = 0\) の場合はどうなるか。

5.5.問題4.5.P4 \(V\) を実または複素のベクトル空間とし、\(\|\cdot\|\) をそのノルムとする。集合 \(S\) がコンパクトであるとき、\(S\) が閉かつ有界であることを示せ。さらに、与えられた無限列 \(\{x...

5.5.問題35.5.P3 ノルム付き線形空間において、開かつ閉である集合の例を挙げよ。また、開でも閉でもない集合の例を挙げよ。

5.5.問題25.5.P2 ノルム付き線形空間における集合 \(S\) の各点は \(S\) の極限点であることを示せ。したがって、\(S\) の閉包は \(S\) の極限点の集合に等しいことを示せ。

5.5.問題15.5.P1 ノルム付き線形空間において、集合が閉じているのは、それがすべての極限点を含む場合であることを示せ。

5.5.問題集5.5.P1 ノルム付き線形空間において、集合が閉じているのは、それがすべての極限点を含む場合であることを示せ。5.5.P2 ノルム付き線形空間における集合 \(S\) の各点は \(S\) の極限点であることを示せ。したがっ...