3.標準形と三角因子分解

3.2.9.4観察 3.2.9.4. \( B \in M_n \) が与えられ、非ゼロの非対角成分が \( p \) 個あるとする。また、そのジョルダン標準形 \( J_B \) が \( r \) 個のジョルダンブロックを含むとする。こ...

3.2.9.3観察 3.2.9.3. 任意の \( B \in M_n \) は、置換相似（permutation similarity）の下で既約な（これ以上分解できない）行列の直和に置換相似である。証明. 有限集合 \( S = \{ ...

3.2.9.2観察 3.2.9.2. \( B = \in M_m \) が \( m - 1 \) 未満の非零の非対角成分を持つとする。このとき、置換行列 \( P \) が存在して、P^T B P = B_1 \oplus B_2となり...

3.2.93.2.9 ジョルダン標準形の最適性に関する性質。行列のジョルダン標準形は、非零の非対角成分が第一上対角成分にしか現れない上三角行列の直和である。そのため、多くの成分が 0 になる。しかし、与えられた行列に相似なすべての行列の中で...

3.2.83.2.8 直和のジョルダン標準形。\(i = 1, \ldots, m\) に対して、\(A_i \in M_{n_i}\) が与えられているとする。また、それぞれの \(A_i\) が \(A_i = S_i J_i S_i^...

3.2.73.2.7 対角化可能部分 + 冪零部分：ジョルダン分解。任意のジョルダンブロックについて、次の恒等式が成り立つ。J_k(\lambda) = \lambda I_k + J_k(0)\left(J_k(0)\right)^k =...

3.2.63.2.6 幾何的重複度と代数的重複度の不等式。ある行列 \( A \in M_n \) の固有値 \(\lambda\) に対する幾何的重複度は、\(\lambda\) に対応するジョルダンブロックの個数である。この個数は、\(...

3.2.5.2定理 3.2.5.2. \( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) が収束行列であるのは、そのすべての固有値の絶対値が 1 より小さい場合に限る。また、\( A \) がべき有界であるのは...

3.2.53.2.5 収束行列とべき有界行列。\( A \in M_n \) が収束行列（convergent）であるとは、各成分が \( m \to \infty \) のとき \( A^m \) が 0 に収束することをいう。また、\(...

3.2.4.4系 3.2.4.4. \( A, B, S \in M_n \) が与えられ、\( A \) が非退化（nonderogatory）であるとする。もし \( AB = BA^T \) ならば、\( B \) は対称行列である。...

3.2.4.2定理 3.2.4.2. \( A \in M_n \) が非退化であるとする。もし \( B \in M_n \) が \( A \) と可換であるならば、次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在...

3.2.4.1定義 3.2.4.1. 複素正方行列が非退化（nonderogatory）であるとは、その固有値のそれぞれが幾何重複度 1 をもつ場合をいう。ジョルダン行列におけるある固有値の幾何重複度は、その固有値に対応するジョルダンブロッ...

3.2.43.2.4 可換性と非退化行列（nonderogatory matrices）。任意の多項式 \( p(t) \) と任意の \( A \in M_n \) に対して、\( p(A) \) は常に \( A \) と可換です。では...

3.2.3.2定理 3.2.3.2. 任意の正方複素行列は2つの複素対称行列の積として表すことができ、どちらか一方の因子を正則に選ぶことができます。任意の体 \( F \) に対して、\( M_n(F) \) の各行列は、\( M_n(F)...

3.2.3.1定理 3.2.3.1. \( A \in M_n \) とする。このとき、ある正則な複素対称行列 \( S \) が存在して、次が成り立つ：A^T = S A S^{-1}もし \( A \) が nonderogatory（...

3.2.33.2.3 行列とその転置の相似性。\(K_m\) を \(m \times m\) の逆順行列（0.9.5.1）とする。この行列は対称かつ自己逆行列であり、すなわち \(K_m = K_m^T = K_m^{-1}\) である。...

3.2.2　一般常微分方程式の線形系3.2.2 一般常微分方程式の線形系。ジョルダン標準形の応用のひとつで、理論的に重要なものは、定数係数をもつ1階線形常微分方程式系の解の解析です。\( A \in M_n \) が与えられたとき、次の初期...

3.2.1ジョルダン行列の構造ジョルダン行列J=\begin{bmatrix}J_{n_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n_k}(\lambda_k)\\\end{bmatrix}, \\...

3.1問題303.1.P30\( A \in M_n \) の唯一の固有値が \( \lambda = 1 \) であるとする。このとき、任意の \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A \) が \( A^k \)...

3.1問題293.1.P29\( A \in M_k \) が上三角行列であり、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} = 1 \)、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して \...

3.1問題283.1.P28\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) が相似であることと、すべての固有値 \( \lambda \) と \( k = 1, \ldots, n \) に対して\tex...

3.1問題273.1.P27\( A \in M_n \) が正規行列であるとする。前問および QR 分解 (2.1.14) を用いて、\( A \) がユニタリ対角化可能であることを示せ。

3.1問題263.1.P26\( A \in M_n \) が正規行列であるとする。前問を用いて、定義 (2.5.1) から \( A \) が対角化可能であることを導け。ただしスペクトル定理 (2.5.3) は用いないこと。

3.1問題253.1.P25 (3.1.11) を用いて、\( A \in M_n \) が対角化可能であるための必要十分条件は、各固有値 \( \lambda \) に対して次が成り立つことであることを示せ：x \in \mathbb{C...

3.1問題243.1.P24次の 4×4 行列を考える：\( A = _{i,j=1}^2, \; B = _{i,j=1}^2 \) とし、A_{11} = A_{22} = B_{11} = B_{22} = J_2(0), \\\qu...

3.1問題233.1.P23行列 \( A = \in M_n \) が三重対角行列であり、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \) が実数であるとする。(a) \( a_{i,i+1} a...

3.1問題223.1.P22\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が三重対角行列であるとする。 (a) もし \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \gt 0 \) が \( i = 1, \ldots, n-1 ...

3.1問題213.1.P21\( A \in M_n \) が既約でない上ヘッセンベルグ行列であるとする（(0.9.9) 参照）。(a) \( A \) の各固有値 λ に対して \( w_1(A, \lambda) = 1 \) であり、...

3.1問題203.1.P20\( A \in M_n \) で \( n > \mathrm{rank}(A) \geq 1 \) と仮定する。もし \(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A^2)\)、すなわ...