[行列解析4.5.P21]

4.5.問題21

\(A ∈ M_n\) がエルミートであり、次のように分割されるとする：

A = \begin{pmatrix} B &C \\ C^* &D \end{pmatrix}

ここで B は非特異である。\(S = D - C^* B^{-1} C\) を \(B\) の \(A\) における Schur 補行列とする。

(a) 恒等式 (0.8.5.3) が \(A\) と \(B ⊕ S\) の間に ∗合同を示す理由を説明せよ。

(b) Haynsworth の定理を証明せよ：\(A, B, S\) の慣性 (4.5.6) は次の恒等式で関連する：

(4.5.28)

i_+(A) = i_+(B) + i_+(S) \\ i_-(A) = i_-(B) + i_-(S) \\ i_0(A) = i_0(S)

すなわち、I(A) = I(B) + I(S) である。関連する結果は (7.1.P28) を参照。