[行列解析4.4.3]定理

4.4.3

定理 4.4.3.

\(A \in M_n\) と \(p \in \{0,1,\dots,n\}\) を与える。\(A\bar{A}\) が少なくとも \(p\) 個の実かつ非負の固有値（ここでは \(\lambda_1,\dots,\lambda_p\) を含む）を持つと仮定する。すると、あるユニタリ行列 \(U\in M_n\) が存在して次の形にできる：

A = U \begin{pmatrix} \Delta & C \\ 0 & 0_{n-p} \end{pmatrix} U^T

ここで \(\Delta = [d_{ij}]\in M_p\) は上三角行列で、対角成分は \(d_{ii} = \sqrt{\lambda_i} \ge 0\)（\(i=1,\dots,p\)）であり、\(C\in M_{p,n-p}\) である。もし \(A\bar{A}\) がちょうど \(p\) 個の実非負固有値を持つならば、対応する余りのブロック \(C\bar{C}\) は実かつ非負の固有値を持たない。

証明.

\(n=1\) の場合は自明（前の練習問題参照）。また \(p=0\) の場合も自明である。したがって \(n\ge2\), \(p\ge1\) と仮定する。

次の縮約（帰納的手順）を考える。まず \(A\bar{A}\) の実かつ非負の固有値 \(\lambda\) に対応する単位固有ベクトル \(x\) を取り、\(\sigma=\sqrt{\lambda}\ge0\) とする。補題 4.4.2 により、\(A\bar{z}=\sigma z\) を満たす単位ベクトル \(z\) が存在する。

この \(z\) を第一列に持つユニタリ行列 \(V=[\,z\; v_2\; \dots\; v_n\,]\in M_n\) をとり、\(V\) によるユニタリ合同を考える。すると \(V^T A \, V\) の \((1,1)\) 成分は

z^* A \bar{z} = \sigma z^* z = \sigma

である。さらに \(V\) の列の直交性により第1列の他の成分は零になる（\(v_i^* A \bar{z} = \sigma v_i^* z = 0\) for \(i=2,\dots,n\)）。従って

A = V \begin{pmatrix} \sigma & * \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} V^T, \quad A_2 \in M_{n-1},\ \sigma=\sqrt{\lambda}\ge0.

対応して

A\bar{A} = V \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & A_2\bar{A}_2 \end{pmatrix} V^* = V \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & A_2\bar{A}_2 \end{pmatrix} V^*.

もし \(A_2\) が既に \(M_{n-p}\) の形（すなわち十分に縮んだ）であるか、あるいは \(A_2\bar{A}_2\) が実かつ非負の固有値を持たないならば縮約を止める。

そうでなければ、同様の手順を \(A_2\) に対して繰り返す。各ステップで \(A\bar{A}\) の実非負固有値に対応する一次元部分空間（補題 4.4.2 によって与えられるベクトル）を系統的に取り出していけば、最大で \(p\) 回の縮約で述べたブロック構造を得る。

以上により、あるユニタリ \(U\) が存在して所望の形にできることが示された。さらに、もし \(A\bar{A}\) がちょうど \(p\) 個の実非負固有値のみを持つなら、縮約を続けた残りのブロック \(A_{p+1}\bar{A}_{p+1}\)（本文中の \(C\bar{C}\) に対応）は実非負固有値を持たないことが直ちに従う。