[行列解析1.3.P21]複素行列の第2の実表現の基本性質

1.3.P21

1.3.問題21
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1.3.問題21

前問と同じ記法を用いる。次を定義する：

R_2(A) = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_2 & -A_1 \end{bmatrix} \in M_{2n}(\mathbb{R}).

さらに、

V = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} - i I_n & I_n \\ - i I_n & - I_n \end{bmatrix}

とし、

R_2(i I_n) = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix}, \quad R_2(I_n) = \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & - I_n \end{bmatrix}

とする。このとき次を示せ：

(a) \( V^{-1} = V^* \)、\( R_2(I_n)^{-1} = R_2(I_n) = R_2(I_n)^* \)、\( R_2(i I_n)^{-1} = R_2(i I_n) = R_2(i I_n)^* \)、かつ \( R_2(i I_n) = V^{-1} R_2(I_n) V \) である。

(b) \( A = B \) であるのは \( R_2(A) = R_2(B) \) のとき、またそのときに限る。また \( R_2(A + B) = R_2(A) + R_2(B) \) である。

(c) \( R_2(A) = V \begin{bmatrix} 0 & A \\ \overline{A} & 0 \end{bmatrix} V^{-1} \) である。

(d) \(\det R_2(A) = (-1)^n \lvert \det A \rvert^2\)（(0.8.5.13)参照）。

(e) \( R_2(A) \) が正則であるのは、\( A \) が正則であるとき、またそのときに限る。

(f) 特性多項式と固有値：\( p_{R_2(A)}(t) = \det(t^2 I - A \overline{A}) = p_{A \overline{A}}(t^2) \)（(0.8.5.13)参照）。したがって、\( \mu_1, \dots, \mu_n \) を \( A \overline{A} \) の固有値とすると、\( \pm \mu_1, \dots, \pm \mu_n \) が \( R_2(A) \) の固有値となる。さらに、\( p_{R_2(A)}(t) \) の係数は実数であるため、\( A \overline{A} \) の非実固有値は共役なペアとして現れる。

(g) \( R_2(AB) = R_2(A \cdot I_n \cdot B) = R_2(A) R_2(I_n) R_2(B) \) である。

(h) \( R_2(\overline{A}) = R_2(I_n) R_2(A) R_2(I_n) \) なので、\( R_2(\overline{A}) \) は \( R_2(A) \) と相似である。また \( R_2(AB \overline{C}) = R_2(A) R_2(B) R_2(C) \) である。

(i) \(-R_2(A) = R_2(-A) = R_2(i I_n \cdot A \cdot i I_n) = \big(R_2(i I_n) R_2(I_n)\big) \, R_2(A) \, \big(R_2(i I_n) R_2(I_n)\big)^{-1} \) なので、\( R_2(-A) \) は \( R_2(A) \) と相似である。

(j) \( R_2(A) R_2(B) = V \big( \overline{A}B \oplus A \overline{B} \big) V^{-1} \) である。

(k) \( A \) が正則なら、\( R_2(A)^{-1} = R_2(\overline{A}^{-1}) \) である。

(l) \( R_2(A)^2 = R_1(\overline{A}A) = R_2(A \overline{A}) R_2(I_n) \) である。

(m) \( S \) が正則なら、\( R_2(S A \overline{S}^{-1}) = \big(R_2(S) R_2(I_n)\big) \, R_2(A) \, \big(R_2(S) R_2(I_n)\big)^{-1} \) となり、したがって \( R_2(S A \overline{S}^{-1}) \) は \( R_2(A) \) と相似である。逆も成り立つことは (4.6.P19) 参照：もし \( R_2(A) \) が \( R_2(B) \) と相似なら、正則な \( S \) が存在して \( B = S A \overline{S}^{-1} \) となる。

(n) \( R_2(A^{\top}) = R_2(A)^{\top} \) なので、\( A \) が（複素）対称であるのは \( R_2(A) \) が（実）対称であるとき、またそのときに限る。

(o) \( A \) がユニタリであるのは \( R_2(A) \) が実直交行列であるとき、またそのときに限る。

ブロック行列 \( R_2(A) \) は、\( A \) の実表現の第二の例である。

ヒント

行列 \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) を実行列として表すために、実部と虚部を用いたブロック行列 \( R_2(A) \) を考える。

この対応は線形性を保ち、積・転置・共役・行列式・固有値などの性質を実行列の枠組みで調べることを可能にする。

与えられた行列 \( V \) による相似変換を用いることで、複素構造と実構造の関係が明確になる。

解答例

(a) 行列 \( V \) はユニタリであり、直接計算により \( V^* V = I \) が成り立つため \( V^{-1} = V^* \) である。また

R_2(I_n)= \begin{bmatrix} I_n & 0\\ 0 & -I_n \end{bmatrix}, \quad R_2(iI_n)= \begin{bmatrix} 0 & I_n\\ I_n & 0 \end{bmatrix}

はいずれも自分自身の逆行列かつ転置共役に等しい。さらに直接計算により

R_2(iI_n)=V^{-1}R_2(I_n)V

が成り立つ。

(b) 定義より \( R_2(A) \) の各ブロックは \( A \) の実部・虚部で一意に決まるため、\( R_2(A)=R_2(B) \) ならば \( A=B \) である。またブロックごとの和をとることで \( R_2(A+B)=R_2(A)+R_2(B) \) が従う。

(c) 行列 \( V \) を用いた相似変換を直接計算すると

R_2(A)=V \begin{bmatrix} 0 & A\\ \overline{A} & 0 \end{bmatrix} V^{-1}

が得られる。

(d) (c) の表現とブロック行列の行列式の性質より

\det R_2(A)=(-1)^n |\det A|^2

が従う。

(e) (d) より \( \det R_2(A)\neq 0 \) と \( \det A\neq 0 \) は同値であり、正則性が同値である。

(f) 特性多項式を計算すると

p_{R_2(A)}(t)=\det(t^2I-A\overline{A})=p_{A\overline{A}}(t^2)

となる。よって \( A\overline{A} \) の固有値を \( \mu_1,\dots,\mu_n \) とすると、\( \pm \mu_1,\dots,\pm \mu_n \) が \( R_2(A) \) の固有値である。係数が実数であるため、非実固有値は共役な対で現れる。

(g) 定義と行列積の計算より

R_2(AB)=R_2(A)R_2(I_n)R_2(B)

が成り立つ。

(h) \( R_2(\overline{A})=R_2(I_n)R_2(A)R_2(I_n) \) であるから、\( R_2(\overline{A}) \) は \( R_2(A) \) と相似である。同様に \( R_2(AB\overline{C})=R_2(A)R_2(B)R_2(C) \) が従う。

(i) 定義と (a) の結果を用いると