完全拡張不等式

一般的に拡張不等式は、完全ではありません。

すなわち、複素数α、β、θ（θ≠0）に対して、

• \(α <_θ β\)
• \(α = β\)
• \(α >_θ β\)

のいずれの関係も満たさない場合（すなわち比較不可能な場合）があります。

完全拡張不等式

複素数全体を、ポジティブ集合\(P\)と、ネガティブ集合と0からなるようにポジティブ集合を定義します。

例えば、

\[P=\{x+yi| x>0 または (x=0 かつ y>0)\}\]

と定義します。

このようにすると、任意の複素数α、β、θ（θ≠0）に対して、

• \(α <_θ β\)
• \(α = β\)
• \(α >_θ β\)

のいずれかが成立するようになります。

例えば、

\(-5<_1 3-2i\)

\(5>_i 3-6i\)

などが成立します。

すこし複雑な例ですと、

\(10+2i <_{[-2+i]} 6-6i\)

といった拡張不等式があります。

この拡張不等式が成立することは、

\(\displaystyle \frac{(6-6i)-(10+2i)}{-2+i} \in P\)であるかどうかで判定します。