行列解析

5.6.問題455.6.P45 \(\| \cdot \|\) を \(C_n\) 上のノルムから誘導された \(M_n\) 上の行列ノルムとし、\(A = XY^*\) （\(X = \in M_{n,k}\), \(Y = \in M_...

5.6.問題445.6.P44\(A = \in M_n(\mathbb{R})\) がすべて整数（正・負・ゼロ）であり、\(K = \max |a_{ij}| = \|A\|_\infty\) とする。非零の固有値を \(\lambda_...

5.6.問題435.6.P43\(A \in M_n\) とし、\(U^* A U = T\) をユニタリ上三角化（2.3.1）とする。指数関数の級数展開を用いて \(e^T = U^* e^A U\) を示せ。これにより \(\det e...

5.6.問題425.6.P42 スペクトルノルムは絶対ノルムではないが、絶対ベクトルノルムから誘導されるすべての行列ノルムは、前問の (c) 部で示された弱い単調性を持つ。行列ノルム \(\| \cdot \|\) は正の直交体（posit...

5.6.問題415.6.P41\( \|\cdot\| \) を \(C_n\) 上の絶対ノルムとし、それによって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムを \(\|\cdot\|\) とする。さらにN(A) = \||A|\|と定義する...

5.6.問題405.6.P40(a) 次の行列のスペクトルノルムを計算せよ：\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -...

5.6.問題395.6.P39前問の結果はスペクトルノルムの場合にさらに改善できる。スペクトル行列とは、スペクトルノルムとスペクトル半径が等しい行列である。(a) \(U \in M_n\) がユニタリ行列で \(\alpha \in \m...

5.6.問題385.6.P38\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(\| \cdot \|\) をある行列ノルムとすると \(\|A\| = \rho(A)\) が成り立つのは、\(A\) の最大絶対値の固有値がすべて半単純（セ...

5.6.問題375.6.P37スペクトルノルムはフロベニウスノルムと異なり、\(M_n\) 上の内積から導かれるものではないことを示せ。

5.6.問題365.6.P36\(A \in M_n\) の場合、エルミート行列\hat{A} = \begin{bmatrix} 0 & A^* \\ A & 0 \end{bmatrix} \in M_{2n}は \(A\) と同じスペ...

5.6.問題355.6.P35 (5.6.P33) のパラメータを \(p_k = r^k\) （\(k=1,\dots,n\)）と選ぶと、(5.6.52) は次の境界を示す：|\tilde{z}| \le \max\left\{\begi...

5.6.問題345.6.P34 もし (5.6.45) のすべての係数 \(a_k\) が非零である場合、前問のパラメータを \(p_k = p_1 / |a_{n-k+1}|\) （\(k=2,3,\dots,n\)）と選ぶと、(5.6....

5.6.問題335.6.P33任意の非特異行列 \(D\) に対して \(\rho(A) = \rho(D^{-1} A D)\) であることから、(5.6.P27) の方法を \(D^{-1} C(p) D\) に適用して、(5.6.45...

5.6.問題325.6.P32次の多項式を考える：\begin{align}& p(z) \notag = \frac{1}{n!} z^n + \frac{1}{(n-1)!} z^{n-1} \notag \\& \quad \quad...

5.6.問題315.6.P31前問の 4 問はいずれも \(p(z) = 0\) の根の絶対値の上限に関する問題であったが、これらは下限境界を得るためにも利用できる。もし \(p(z)\) が (5.6.45) で与えられ、\(a_0 \n...

5.6.問題305.6.P30上記の Montel の境界を用いて Kakeya の定理を示せ：もし多項式f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0の係数 \(a_i \ge...

5.6.問題295.6.P29 Montel の境界 (5.6.48) を多項式\begin{align}q(z) &= (z-1)p(z) \notag \\&= z^{n+1} + (a_{n-1}-1)z^n \notag \\ & ...

5.6.問題285.6.P28前問の記法を引き続き用い、(5.6.46) の境界を改善する。\( s = |a_0|^2 + |a_1|^2 + \dots + |a_{n-1}|^2 \) とおく。フロベニウスの同伴行列を \( C(p)...

5.6.問題275.6.P27 次のように次数が 1 以上の任意の多項式 \( f(z) \) は表せる：f(z) = \gamma z^k p(z)ここで \(\gamma\) は 0 でない定数であり、p(z) = z^n + a_{n...

5.6.問題265.6.P26\( A \in M_n \) で \(\rho(A) \lt 1\) のとき、ノイマン級数 \( I + A + A^2 + \dots \) が収束し、\((I - A)^{-1}\) に等しくなることを示...

5.6.問題255.6.P25 \( A \in M_n \) を循環行列（0.9.6.1）で、最初の行が \(\) であるとする。また \(\omega = e^{2\pi i/n}\) とする。次を示せ。|a_1 + \cdots + ...

5.6.問題245.6.P24 (5.6.P23) の境界 (5,2) が次のように改善されることを示せ。\lVert A \rVert_2 \le (\mathrm{rank}\, A)^{1/2} \lVert A \rVert_2

5.6.問題235.6.P23 以下の 6×6 の表の各成分が、すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert_\alpha \le C_{\alpha\beta} \lVert A \rVert_\...

5.6.問題225.6.P22行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が単位元ノルム（unital）であることは、すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert^D \ge |\m...

5.6.問題215.6.P21 任意の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) と \( A \in M_n \) に対して、次を示せ。\lVert A \rVert_2 \le \lVert A \rVert^{1/2}...

5.6.問題205.6.P20任意の \( A, B \in M_n \) に対して、\(\lVert AB \rVert_2 \le \lVert A \rVert_2 \lVert B \rVert_2\) および \(\lVert A...

5.6.問題195.6.P19スペクトル半径 \(\rho(\cdot)\) は非負、連続、斉次関数であるが、行列ノルム、ノルム、セミノルム、プレノルムではない。次の例を示せ： (a) \( \rho(A) = 0 \) となる非零行列 \...

5.6.問題185.6.P18(5.6.P17) の方法を、任意の非特異な上三角行列 \( A \in M_n \) の逆行列を求めるように一般化する方法を説明せよ。

5.6.問題175.6.P17 (5.6.P16) の考え方を用いて、次の行列の逆行列を求めよ。\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\0 & 1 & 3\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}

5.6.問題165.6.P16\( A = \in M_n \), \( n \ge 2 \) に対して、\(\lVert A \rVert = n \max_{i,j} |a_{ij}|\) と定義すると、この関数は誘導されない行列ノルム...