行列解析

5.7.10定理 5.7.10. \(f\) が \(M_n\) 上のプレノルム、特にベクトルノルムであるならば、すべての \(A \in M_n\) に対して次が成り立つ：\lim_{k \to \infty} \bigl^{1/k} =...

5.7.8定理 5.7.8. \(f\) を \(M_n\) 上のプレノルム、すなわち \(M_n\) 上で正値性・斉次性・連続性 (5.4.4) を満たす実数値関数とする。また、\(\| \cdot \|\) を \(M_n\) 上の行列...

Further Readings誘導ノルム間の上界の問題（5.6.18）に関するさらなる議論は、H. Schneider および G. Strang, "Comparison theorems for supremum norms," Nu...

5.6.問題585.6.P58(a) \(A, B \in M_2\) の例を挙げ、\(\|AB\|_2 \neq \|BA\|_2\)（フロベニウスノルム）となることを示せ。(b) \(A, B \in M_n\)、\(A\) は正規、\...

5.6.問題575.6.P57\(A \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に並べ、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigm...

5.6.問題565.6.P56 \(\| \cdot \|\) を \(M_n\) 上の自己共役行列ノルム（例えば、ユニタリ不変行列ノルム）とする。このとき、すべての \(A \in M_n\) に対して次を示せ：\|A\|_2 \le \...

5.6.問題555.6.P55与えられた行列ノルム \(\| \cdot \|\) を \(M_m\) 上で考える。関数 \(N(\cdot) : M_{mn} \to \mathbb{R}\) を次のように定義する：各 \(A \in M...

5.6.問題545.6.P54(5.6.P49) でベクトル \(x_0\) と \(y_0\) の存在を保証する一般原理は、コンパクト集合のデカルト積がコンパクトであることである。この場合のコンパクト集合は、ノルム \(\|\cdot\|...

5.6.問題535.6.P53 最大行和ノルムの場合の (5.6.P49) の構成を示す。行列A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}に対して、\(x_0 = ^T\)、\(y_0...

5.6.問題525.6.P52 スペクトルノルムの場合の (5.6.P49) の構成を示せ。非特異 \(A \in M_n\) を特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\)（2.6.3.1）とすると、\(x_0\) を \(V\)...

5.6.問題515.6.P51任意の非特異 \(A \in M_n\) に対して \(\mathrm{dist}_{\|\cdot\|}(A, S_n) = \|A^{-1}\|^{-1}\) が成立する場合に限り、行列ノルム \(\|\c...

5.6.問題505.6.P50\(\| \cdot \|\) が誘導でない行列ノルムの場合、(5.6.26) より、すべての \(A \in M_n\) に対して \(N(A) \le \|A\|\) となる誘導行列ノルム \(N(\cdo...

5.6.問題495.6.P49\(\| \cdot \|\) が \(C_n\) 上のノルムから誘導され、\(A \in M_n\) が非特異であるとする。ベクトル \(x_0, y_0 \in C_n\) を \(\|x_0\| = \|...

5.6.問題485.6.P48(a) \(S_n\) が閉集合である理由を説明せよ。すなわち、\(X_i \in S_n\) （\(i=1,2,\dots\)）かつ \( \|X_i - B\| \to 0 \) とすると \(B \in ...

5.6.問題475.6.P47\(A, B \in M_n\) とし、\(A\) は非特異、\(B\) は特異であるとする。このとき次を示せ：\|A - B\| \ge \frac{1}{\|A^{-1}\|}非特異行列は特異行列によって近...

5.6.問題465.6.P46\(A \in M_n\) が非特異であり、行列ノルム \(\| \cdot \|\) がベクトルノルム \(\|\cdot\|\) から誘導される場合、次を示せ：\|A^{-1}\| = \frac{1}{\...

5.6.問題455.6.P45 \(\| \cdot \|\) を \(C_n\) 上のノルムから誘導された \(M_n\) 上の行列ノルムとし、\(A = XY^*\) （\(X = \in M_{n,k}\), \(Y = \in M_...

5.6.問題445.6.P44\(A = \in M_n(\mathbb{R})\) がすべて整数（正・負・ゼロ）であり、\(K = \max |a_{ij}| = \|A\|_\infty\) とする。非零の固有値を \(\lambda_...

5.6.問題435.6.P43\(A \in M_n\) とし、\(U^* A U = T\) をユニタリ上三角化（2.3.1）とする。指数関数の級数展開を用いて \(e^T = U^* e^A U\) を示せ。これにより \(\det e...

5.6.問題425.6.P42 スペクトルノルムは絶対ノルムではないが、絶対ベクトルノルムから誘導されるすべての行列ノルムは、前問の (c) 部で示された弱い単調性を持つ。行列ノルム \(\| \cdot \|\) は正の直交体（posit...

5.6.問題415.6.P41\( \|\cdot\| \) を \(C_n\) 上の絶対ノルムとし、それによって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムを \(\|\cdot\|\) とする。さらにN(A) = \||A|\|と定義する...

5.6.問題405.6.P40(a) 次の行列のスペクトルノルムを計算せよ：\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -...

5.6.問題395.6.P39前問の結果はスペクトルノルムの場合にさらに改善できる。スペクトル行列とは、スペクトルノルムとスペクトル半径が等しい行列である。(a) \(U \in M_n\) がユニタリ行列で \(\alpha \in \m...

5.6.問題385.6.P38\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(\| \cdot \|\) をある行列ノルムとすると \(\|A\| = \rho(A)\) が成り立つのは、\(A\) の最大絶対値の固有値がすべて半単純（セ...

5.6.問題375.6.P37スペクトルノルムはフロベニウスノルムと異なり、\(M_n\) 上の内積から導かれるものではないことを示せ。

5.6.問題365.6.P36\(A \in M_n\) の場合、エルミート行列\hat{A} = \begin{bmatrix} 0 & A^* \\ A & 0 \end{bmatrix} \in M_{2n}は \(A\) と同じスペ...

5.6.問題355.6.P35 (5.6.P33) のパラメータを \(p_k = r^k\) （\(k=1,\dots,n\)）と選ぶと、(5.6.52) は次の境界を示す：|\tilde{z}| \le \max\left\{\begi...

5.6.問題345.6.P34 もし (5.6.45) のすべての係数 \(a_k\) が非零である場合、前問のパラメータを \(p_k = p_1 / |a_{n-k+1}|\) （\(k=2,3,\dots,n\)）と選ぶと、(5.6....

5.6.問題335.6.P33任意の非特異行列 \(D\) に対して \(\rho(A) = \rho(D^{-1} A D)\) であることから、(5.6.P27) の方法を \(D^{-1} C(p) D\) に適用して、(5.6.45...