行列解析

補題 2.5.2行列 \( A \in M_n \) が次のように分割されているとします：A =\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\0 & A_{22}\end{bmatrix}ここで \( A_{11} \)...

問題2.4.P1行列 \( A = \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( n \) 個持つと仮定する。式 (2.4.9.2) を用いて、ある \(\delta > 0\) が存在し、すべての行列 \( B = \i...

2.4.11 完全な双直交性の原理双直交性の原理とは、異なる固有値に対応する左固有ベクトルと右固有ベクトルが直交することを意味します（1.4.7(a)参照）。ここでは、左・右固有ベクトルに関するあらゆる可能性について考察します。定理 2.4...

2.4.10 階数1の摂動による固有値の変化ある行列の1つの固有値だけを任意に変化させ、他の固有値には影響を与えないようにできる場合があります。このような性質は、階数1の摂動によって実現されます。定理 2.4.10.1（A. ブラウアー）行...

2.4.9 固有値の連続性Schur のユニタリ三角化定理は、次のような基本的かつ広く有用な事実の証明に利用できます。それは、実または複素の正方行列の固有値は、その成分に連続的に依存するということです。この証明では、Schur の定理におけ...

2.4.8 可換な行列族と同時三角化 ここでは、Schur の定理の可換族版 (2.3.3) を用いて、可換行列の固有値がある順序で「加法的」かつ「乗法的」であることを示します。定理 2.4.8.1. \( A, B \in M_n \) ...

2.4.7 すべての正方行列はほとんど対角化可能である Schur の結果を用いると、すべての複素数値正方行列が「ほとんど対角化可能」であることが、次の2つの意味で明確になります。1つ目は、任意の行列に対してそれに任意に近い対角化可能な行列...

2.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である以下の定理は (2.3.1) の応用かつ拡張であり、次章で扱うジョルダン標準形への重要な一歩となります。定理 2.4.6.1. \( A \in \mathbb{M}_n \) の異なる...

2.4.5　シュールの三角化定理における一意性与えられた \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、ユニタリ類似によって得られる上三角行列 \( T \)（式 (2.3.1) における形）は一意であるとは限りません。つまり...

2.4.4 シルベスターの定理と線形行列方程式可換性に関連する方程式 \( AX - XA = 0 \) は、一般的に シルベスター方程式と呼ばれる線形行列方程式 \( AX - XB = C \) の特別な場合です。以下の定理は、任意の ...

2.4.3 ケイリー–ハミルトンの定理任意の正方複素行列がその特性方程式を満たすという事実は、シュールの定理と、特定のゼロパターンを持つ三角行列の積に関する観察から導かれます。補題 2.4.3.1\( R = ,\ T = \in \mat...

2.4.2 Aの多項式の固有値行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持っていると仮定し、\( p(t) \) を任意の多項式とします。式 (...

2.4 シュールの三角化定理の帰結シュールのユニタリ三角化定理からは、さまざまな重要な結果を得ることができます。本節では、それらのいくつかを詳しく調べます。2.4.1 トレースと行列式行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) ...

問題2.3.P1\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y^T \end{bmatrix}\) と書く。ただし、\(x_1 \in \mathbb...

定理 2.3.4（実Schur標準形）実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、以下の性質が成り立つ：(a)実正則行列 \( S \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、\( S^{-1} ...

定理 2.3.3：可換な行列族のユニタリ三角化 \( M_n \) の非空の可換な行列族 \( F \subseteq M_n \) が与えられたとき、すべての \( A \in F \) に対して \( U^*AU \) が上三角行列とな...

2.3 ユニタリおよび実直交三角化初等的な行列理論において最も本質的に有用な事実の1つは、I. Schur による定理です。それによると、任意の正方複素行列 \( A \) は、任意の順序で \( A \) の固有値を対角成分にもつ三角行列...

問題2.2.P1\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i < j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) となるような添字 ...

定理 2.2.8： \( A, B \in M_n \) を行列とする。(a) \( A \) と \( B \) がユニタリ類似であることと、2つの非可換変数 \( s, t \) に関するすべての語 \( W(s, t) \) で、次の...

定理 2.2.2 は、2つの行列がユニタリ類似であるための必要条件を与えますが、十分条件ではありません。 この条件は追加の等式と組み合わせることで、必要十分条件となります。その中で、次のような簡単な概念が重要な役割を果たします。非可換な変数...

2.2 ユニタリ類似 ユニタリ行列 \( U \) に対して \( U^* = U^{-1} \) が成り立つことから、写像 \( A \mapsto U^*AU \) はユニタリ行列による類似変換（similarity transform...