2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.6]観察
2.1.6観察 2.1.6\( U, V \in M_n \) がユニタリ行列（あるいは実直交行列）であるとき、積 \( UV \) もまたユニタリ行列（あるいは実直交行列）になります。演習問題定理2.1.4の(b)を使って、観察2.1.6...
行列解析
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.5]定義（ユークリッド等距変換）
2.1.5定義 2.1.5（ユークリッド等距変換）線形変換 \( T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \|x...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.4]定理
定理 2.1.4. \(U \in M_n\) のとき、以下は同値である：(a) \(U\) はユニタリである。(b) \(U\) は正則で、かつ \(U^* = U^{-1}\) である。(c) \(UU^* = I\) である。(d) ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.3]定義（ユニタリ・実直交行列）
2.1.3定義 2.1.3ユニタリ・実直交行列\( U \in M_n \) が「ユニタリ」であるとは、\( U^* U = I \) を満たすことである。\( U \in M_n(\mathbb{R}) \) が「実直交行列」であるとは、...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.2]定理
2.1.2定理 2.1.2任意の直交正規なベクトル列は線形独立である。証明\( \{x_1, \ldots, x_k\} \) が直交正規であると仮定し、次のような線形結合がゼロになるとする： 0 = \alpha_1 x_1 + \cdo...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.1]定義（直交・直交正規）
2.1.1.定義定義 2.1.1ベクトルの列 \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) が「直交する」とは、すべての \( i \ne j \) に対して \( x_i^* x_j = 0 \) が成り...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1]ユニタリ行列とQR分解
2.1 ユニタリ行列とQR分解2.1.1. 定義2.1.2. 定理2.1.3. 定義2.1.4. 定理2.1.5. 定義（ユークリッド等距変換）2.1.6. 観察2.1.7. 観察2.1.8. 補題2.1.9. 定理2.1.10. 補題2....
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.0]はじめに
2.0 はじめに第1章では、一般の正則行列 \( S \) を用いた \( A \in M_n \) の相似変換、すなわち \( A \to S^{-1}AS \) に関する初歩的な研究を行いました。ここで特別な正則行列である「ユニタリ行列...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2]ユニタリ相似性とユニタリ同値性(Unitary Similarity and Unitary Equivalence)
2. ユニタリ相似性とユニタリ同値性目次2.0 はじめに(Introduction)2.1 ユニタリ行列とQR分解(Unitary matrices and the QR factorization)2.2 ユニタリ相似(Unitary s...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p17]
1.4.問題171.4.P17 (1.4.13) で \(a = 2\)、\(b = c = -1\) の場合、次を示せ：\sigma(A) = \left\{ 4 \sin^2 \frac{\pi \kappa}{2(n+1)} : \k...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p16]
1.4.問題161.4.P16 複素三重対角テプリッツ行列A =\begin{pmatrix}a & b & & & 0 \\c & a & b & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p15]
1.4.問題151.4.P15 \(A \in M_n\) の単純固有値 \(\lambda\) が与えられ、ベクトル \(x, y, z, w \in \mathbb{C}^n\) が次を満たすとする：\(Ax = \lambda x\)...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p14]
1.4.問題141.4.P14 行列 \(A \in M_n\) と複素数 \(t \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。なぜ次が成り立つのか説明せよ：(A - t I)\, \mathrm{adj}(A - t I) = ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p13]
1.4.問題131.4.P13 行列 \(A \in M_n\) とゼロでないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(\lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) を \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p12]
1.4.問題121.4.P12 行列 \(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda\) とする。(a) \(A - \lambda I\) の任意の \(n-1\) 列が線形独立であることと、\(\lambda\) に対応する...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p11]
1.4.問題111.4.P11 行列 \(A \in M_n\) が非簡約上ヘッセンベルグ行列（unreduced upper Hessenberg matrix、参照: 0.9.9）であると仮定する。なぜすべての \(\lambda \i...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p10]
1.4.問題101.4.P10 行列 \(T \in M_n\) が非特異で、その列が行列 \(A \in M_n\) の左固有ベクトルであるとする。このとき、\(T^{-*}\) の列は \(A\) の右固有ベクトルであることを示せ。
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p9]
1.4.問題91.4.P9 行列 \(A \in M_n\) が固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}, 0\) を持ち、したがって \(\operatorname{rank} A \le n-1\) と...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p8]
1.4.問題81.4.P8 (1.4.P7) の仮定と記法を引き続き用いる。さらに、行列 \(A\) の他の固有値および固有ベクトルは、べき乗法とデフレーションを組み合わせることで計算できる。デフレーションにより、1 サイズ小さい正方行列が...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p7]
1.4.問題71.4.P7 この問題では、行列 \(A \in M_n\) の最大絶対値固有値および対応する固有ベクトルを求めるためのべき乗法の簡単なバージョンを概説する。次の条件を仮定する。\(A \in M_n\) の固有値は互いに異な...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p6]
1.4.問題61.4.P6 次の条件を考える。\(A \in M_n\) が与えられ、ある固有値 \(\lambda\) に対応する成分全てが正の左固有ベクトルおよび右固有ベクトルを持つとする。(a) A が \(\lambda\) 以外の...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p5]
1.4.問題51.4.P5 次のブロック三角行列を考える：A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\0 & A_{22}\end{bmatrix}, \quad A_{ii} \in M_{n_i}, \ i...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p4]
1.4.問題41.4.P4 \( A \in M_n \) が三重対角行列で、主対角成分がすべて 0 であるとする。\( S = \mathrm{diag}(-1, 1, -1, \ldots, (-1)^n) \) と定義したとき、次を示...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p3]
1.4.問題31.4.P3 \( n \geq 2 \) とし、\( T = \in M_n \) を上三角行列とする。(a) 固有値 \( t_{nn} \) に対応する \( T \) の右固有ベクトルを \( x \) とする。このと...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p2]
1.4.問題21.4.P2 \( A \in M_n \) が歪対称行列であるとする。このとき、p_A(t) = (-1)^n p_A(-t)が成り立つことを示せ。さらに、もし \(\lambda\) が \(A\) の固有値で、その重複度...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p1]
1.4.問題11.4.P1 ゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与え、\( A = x y^* \)、および \( \lambda = y^* x \) とする。(a) \(\lambda\) が ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.12]定理
1.4.12定理 1.4.12. \( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、およびゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与える。\( \lambda \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.11]補題
1.4.11補題 1.4.11. \( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、およびゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与える。\( \lambda \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.10]定理
1.4.10定理 1.4.10. \( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、および \( k \geq 1 \) なる正の整数を与える。このとき、次の3つの命題を考える：(a) \( \lam...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.9]定理
1.4.9定理 1.4.9. \( A, B \in M_n \) とし、ある正則行列 \( S \) に対して \( B = S^{-1}AS \) が成り立つとする。もし \( x \in \mathbb{C}^n \) が \( B ...