[行列解析3.5.8]定理

3.5.8定理

定理 3.5.8

（PLU分解）．任意の \( A \in M_n \) に対して、置換行列 \( P \in M_n \)、単位下三角行列 \( L \in M_n \)、および上三角行列 \( U \in M_n \) が存在して、次が成り立つ：

A = P L U

証明.

置換行列 \( Q \) が存在して \( QA \) が行包含性（row inclusion property）を持つことを示せば、(3.5.3) とその後の練習問題により \( QA = LU \) が単位下三角因子 \( L \) とともに成立する。したがって、\( P = Q^T \) とすると \( A = PLU \) が得られる。

\( A \) が非特異であれば、所望の置換行列は (3.5.7) によって保証される。もし \(\mathrm{rank}\, A = k \lt n\) ならば、まず \( A \) の行を並べ替えて、最初の \( k \) 行が一次独立になるようにする。すると \( i = k, \ldots, n-1 \) に対して、

A[\{i+1\}; \{1, \ldots, i\}]

は \( A[\{1, \ldots, i\}] \) の行の線形結合となる。もし \( A[\{1, \ldots, k\}] \) が非特異ならば、再び (3.5.7) を適用して行をさらに並べ替えることで、\( A[\{1, \ldots, k\}] \)、ひいては \( A \) が行包含性を持つことがわかる。

もし \(\mathrm{rank}\, A[\{1, \ldots, k\}] = r \lt k\) であれば、先ほど \( A \) に対して行ったのと同様に処理し、\( i = r, \ldots, n-1 \) の添字について行包含性を得る。この手順を繰り返すと、左上ブロックが 0 であればすべての添字について行包含性が得られ、非特異であればさらに1回の置換で議論が完成する。∎

練習問題.

任意の \( A \in M_n \) は \( A = LUP \) と因数分解できることを示せ。ただし \( L \) は下三角行列、\( U \) は単位上三角行列、\( P \) は置換行列である。

練習問題.

任意の \( X \in M_n \) と \( p, q \in \{1, \ldots, n\} \) に対して

X[p,q] = X[\{1, \ldots, p\}, \{1, \ldots, q\}] \tag{3.5.9}

と定義する。もし \( A = L B U \) であり、\( L, B, U \in M_n \)、\( L \) が下三角行列、\( U \) が上三角行列であるならば、任意の \( p, q \in \{1, \ldots, n\} \) に対して次が成り立つことを説明せよ：

A[p,q] = L[p,p] B[p,q] U[q,q]

さらに \( L \) および \( U \) が非特異であるならば、次が成立することを説明せよ：

\mathrm{rank}\, A[p,q] = \mathrm{rank}\, B[p,q], \quad \forall p, q \in \{1, \ldots, n\} \tag{3.5.10}

次の定理も、直前の定理と同様に、任意の正方複素行列に対して成立する特別な三角分解（LPU分解）を述べている。非特異な場合における \( P \) 因子の一意性は重要な帰結をもたらす。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)