2.4.問題3
2.4.P3
式 (2.4.3.2) の証明は複素行列が固有値を持つことに依存しているが、特性多項式の定義や置換 \( p_A(t) \to p_A(A) \) は固有値や複素数体の特性を必要としない。実際、ケイリー・ハミルトンの定理は、単位元を持つ可換環の元からなる行列に対しても成立する。可換環の例として、整数環の剰余類環（素数のときは体）、複数の形式的未定元を持つ複素係数多項式環などがある。以下の証明を詳述せよ。証明で用いる代数演算は加算・乗算のみで、除算や多項式方程式の根は使わないことに注意。
基本恒等式
(t I - A)(\mathrm{adj}(t I - A)) \\
= \det(t I - A) I = p_A(t) I
を出発点とし、次の形に書く。
p_A(t) I \\
=
I t^n + a_{n-1} I t^{n-1} \\
\quad + a_{n-2} I t^{n-2} + \cdots + a_1 I t + a_0 I
（\( t \) に関する次数 \( n \) の多項式で、係数はスカラー行列）
なぜ \( \mathrm{adj}(t I - A) \) は各成分が次数最大 \( n-1 \) の多項式となる行列か説明し、次の形に書けることを示せ。
\mathrm{adj}(t I - A) \\
= A_{n-1} t^{n-1} + A_{n-2} t^{n-2} + \cdots + A_1 t + A_0
ここで \( A_0 = (-1)^{n-1} \mathrm{adj} A \) で、各 \( A_k \) は \( A \) の成分に関する多項式関数の成分を持つ \( n \times n \) 行列。
式 (2.4.13) を用いて積
(t I - A)(\mathrm{adj}(t I - A))
を計算し、
A_{n-1} t^n + (A_{n-2} - A A_{n-1}) t^{n-1} + \\
\quad \quad \cdots + (A_0 - A A_1) t - A A_0
と表せることを示せ。
式 (2.4.12) と (2.4.14) の対応する係数を比較し、次の \( n+1 \) 個の方程式を得よ。
A_{n-1} = I \\
A_{n-2} - A A_{n-1} = a_{n-1} I \\
\vdots \\
A_0 - A A_1 = a_1 I \\
- A A_0 = a_0 I
各 \( k = 1, \ldots, n \) について、(2.4.15) の第 \( k \) 式に左から \( A_{n-k+1} \) を掛け、全ての \( n+1 \) 式を足し合わせ、ケイリー・ハミルトンの定理 \( 0 = p_A(A) \) を得よ。
各 \( k = 1, \ldots, n-1 \) について、(2.4.15) の第 \( k \) 式に左から \( A_{n-k} \) を掛け、最初の \( n \) 式のみ足し合わせ、次の恒等式を得よ。
\mathrm{adj} A = \\
(-1)^{n-1} ( A_{n-1} + a_{n-1} A_{n-2} + \cdots + a_2 A + a_1 I )
ここで \( \mathrm{adj} A \) は多項式 \( p_A(t) \) の係数（\( a_0 = (-1)^n \det A \) を除く）を逆順に並べたものと一致する多項式行列である。
式 (2.4.15) を用いて、(2.4.13) の右辺の行列係数が
A_{n-1} = I, \\
A_{n-k-1} \\
= A_k + a_{n-1} A_{k-1} + \cdots + a_{n-k+1} A + a_{n-k} I
（\( k = 1, \ldots, n-1 \)）であることを示せ。
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