3.1.5定理
定理 3.1.5.
\(A \in \mathbb{M}_n\) が厳密な上三角行列（すなわち対角成分とその下がすべてゼロ）であるとする。
このとき、ある正則行列 \(S \in \mathbb{M}_n\) と、整数 \(n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_m \geq 1\)、かつ \(n_1 + n_2 + \cdots + n_m = n\) を用いて次のように表せる。
A = S \left( J_{n_1}(0) \oplus J_{n_2}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_m}(0) \right) S^{-1}
ここで、\(J_k(0)\) はゼロを固有値に持つ \(k \times k\) のジョルダンブロックである。
もし \(A\) が実行列であれば、\(S\) を実行列として選ぶこともできる。
証明.
\(n = 1\) のときは \(A = [0]\) なので明らかに成り立つ。以下、\(n > 1\) の場合を数学的帰納法で示す。
\(n-1\) 次以下のすべての厳密な上三角行列について命題が成り立つと仮定する。
行列 \(A\) を次のように分割する：
A = \begin{bmatrix}
0 & a^T \\
0 & A_1
\end{bmatrix}
ここで、\(a \in \mathbb{C}^{n-1}\)、\(A_1 \in \mathbb{M}_{n-1}\) は厳密な上三角行列である。
帰納法の仮定より、ある正則行列 \(S_1 \in \mathbb{M}_{n-1}\) が存在して、次が成り立つ：
S_1^{-1} A_1 S_1 =
\begin{bmatrix}
J_{k_1} & 0 \\
0 & J
\end{bmatrix}
ここで、\(k_1 \geq k_2 \geq \cdots \geq k_s \geq 1\)、\(k_1 + \cdots + k_s = n - 1\)、かつ \(J = J_{k_2}(0) \oplus \cdots \oplus J_{k_s}(0)\)。
また、どのジョルダンブロックもサイズ \(k_1\) 以下なので、\(J_{k_1}^k = 0\) である。
次に、次の類似変換を考える：
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & S_1^{-1}
\end{bmatrix}
A
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & S_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & a^T S_1 \\
0 & S_1^{-1} A_1 S_1
\end{bmatrix}
ベクトル \(a^T S_1\) を \(a^T S_1 = [a_1^T \quad a_2^T]\) と分割し、\(a_1 \in \mathbb{C}^{k_1}\)、\(a_2 \in \mathbb{C}^{n - k_1 - 1}\) とする。
このとき、上記の行列は次のようになる：
\begin{bmatrix}
0 & a_1^T & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
次に、以下の類似変換を施す：
\begin{bmatrix}
1 & -a_1^T J_{k_1}^T & 0 \\
0 & I & 0 \\
0 & 0 & I
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & a_1^T & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & a_1^T J_{k_1}^T & 0 \\
0 & I & 0 \\
0 & 0 & I
\end{bmatrix}
これにより、次の形が得られる：
\begin{bmatrix}
0 & (a_1^T (I - J_{k_1}^T J_{k_1})) & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
補題 3.1.4 の恒等式 \((I - J_k^T J_k)x = (x^T e_1)e_1\) を用いると、
(a_1^T (I - J_{k_1}^T J_{k_1})) = (a_1^T e_1)e_1^T
よって、得られた行列は次のように簡約できる：
\begin{bmatrix}
0 & (a_1^T e_1)e_1^T & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
ここで場合分けを行う。
もし \(a_1^T e_1 \neq 0\) であれば、行列全体は \(J_{k_1+1}(0)\) を直和因子として含むような形に変換できる。
もし \(a_1^T e_1 = 0\) であれば、\(J_{k_1}(0)\) の次元を変えずに既存のブロックに統合することになる。
いずれの場合も、帰納法により \(A\) はゼロ固有値をもつジョルダンブロックの直和として対角化可能である。
ここで、場合分けは \(a_1^T e_1 \neq 0\) か \(a_1^T e_1 = 0\) によって決まる。
まず \(a_1^T e_1 \neq 0\) の場合を考える。
このとき、次の類似変換が成立する：
\begin{bmatrix}
\frac{1}{a_1^T e_1} & 0 & 0 \\
0 & I & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{a_1^T e_1} I
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & (a_1^T e_1)e_1^T & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_1^T e_1 & 0 & 0 \\
0 & I & 0 \\
0 & 0 & a_1^T e_1 I
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & e_1^T & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
ここで、
\tilde{J} =
\begin{bmatrix}
0 & e_1^T \\
0 & J_{k_1}
\end{bmatrix}
= J_{k_1+1}(0)
であることに注意する。実際、\(\tilde{J} e_{i+1} = e_i\) が \(i = 1,2,\ldots,k_1\) について成り立つ。計算すると、次が得られる：
\begin{bmatrix}
I & e_2 a_2^T \\
0 & I
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\tilde{J} & e_1 a_2^T \\
0 & J
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I & -e_2 a_2^T \\
0 & I
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\tilde{J} & e_2 a_2^T J \\
0 & J
\end{bmatrix}
同様の計算を繰り返すことで、次の漸化的な類似変換を得る：
\begin{bmatrix}
I & e_{i+1} a_2^T J^{i-1} \\
0 & I
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\tilde{J} & e_i a_2^T J^{i-1} \\
0 & J
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I & -e_{i+1} a_2^T J^{i-1} \\
0 & I
\end{bmatrix}
\\
=
\begin{bmatrix}
\tilde{J} & e_{i+1} a_2^T J^i \\
0 & J
\end{bmatrix},\\
\quad i = 2,3,\ldots
ここで \(J^{k_1} = 0\) なので、高々 \(k_1\) 回の操作で非対角ブロックは消える。
したがって、最終的に \(A\) は
\begin{bmatrix}
\tilde{J} & 0 \\
0 & J
\end{bmatrix}
と相似である。
これは所望のジョルダン標準形に対応する厳密な上三角行列である。
次に \(a_1^T e_1 = 0\) の場合を考える。
このとき、式 (3.1.9) より \(A\) は次の行列と相似である：
\begin{bmatrix}
0 & 0 & a_2^T \\
0 & J_{k_1} & 0 \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix}
これは置換相似により次と同値である：
\begin{bmatrix}
J_{k_1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_2^T \\
0 & 0 & J
\end{bmatrix} \tag{3.1.10}
帰納法の仮定より、ある正則行列 \(S_2 \in \mathbb{M}_{n-k_1}\) が存在して、
S_2^{-1}
\begin{bmatrix}
0 & a_2^T \\
0 & J
\end{bmatrix}
S_2 = \hat{J} \in \mathbb{M}_{n-k_1}
となる。
ただし \(\hat{J}\) は対角成分がゼロのジョルダン行列である。
したがって式 (3.1.10) の行列、ひいては \(A\) そのものは次と相似である：
\begin{bmatrix}
J_{k_1} & 0 \\
0 & \hat{J}
\end{bmatrix}
ただしジョルダンブロックが大きさの非増加順に並んでいない可能性があるが、必要ならブロックの順序を入れ替えることで所望の形が得られる。
最後に、もし \(A\) が実行列なら、本証明で用いたすべての類似変換は実行列で構成できるため、\(A\) は実行列による相似でジョルダン標準形に変形できる。
定理 3.1.5 によって、一般の場合の証明は事実上完了する。
なぜなら、一般の場合は冪零行列の場合から容易に導けるからである。
すなわち、もし \(A \in \mathbb{M}_n\) が対角成分すべてが \(\lambda\) の上三角行列ならば、\(A_0 = A - \lambda I\) は厳密な上三角行列である。
もし正則行列 \(S \in \mathbb{M}_n\) により
S^{-1} A_0 S = J_{n_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_m}(0)
となるならば、
S^{-1} A S = S^{-1} A_0 S + \lambda I = J_{n_1}(\lambda) \oplus \cdots \oplus J_{n_m}(\lambda)
が成り立ち、これは固有値 \(\lambda\) をもつジョルダンブロックの直和である。以上により、ジョルダン標準形定理の存在部分が確立された。
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