[行列解析2.7]問題集

2.7.問題集

CS分解を用いて、次の各問題を解きなさい。他の方法も可能であるが、ここではCS分解を使うこととする。

与えられた \( A \in M_{n,m} \) が縮小写像 (contraction) であるとは、その最大特異値が 1 以下である場合をいう。

2.7.P1 任意のユニタリ行列の部分行列は縮小写像であることを示せ。ただし部分行列は主部分行列である必要も、正方である必要もない。

2.7.P2 前問には興味深い逆が存在する。すなわち \( A \in M_{m,n} \) が縮小写像であり、その特異値のうちちょうど \(\nu\) 個が 1 より小さいと仮定する。このとき、行列 \( B, C, D \) が存在して、

U = \begin{bmatrix} D & B \\ C & A \end{bmatrix} \in M_{\max\{m,n\} + |m-n| + \nu}

がユニタリとなることを示せ。このような行列 \( U \) を、縮小写像 \( A \) のユニタリ拡大 (unitary dilation) という。

2.7.P3 \( A \) が \( n \times n \) ユニタリ行列の \( k \times k \) 部分行列であり、もし \( 2k \gt n \) ならば、\( A \) の特異値のうちのいくつかが 1 であることを示せ。

2.7.P4 ユニタリ行列

U = \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix}

を考え、\( U_{11} \in M_p \)、\( U_{22} \in M_q \) とする。このとき、\( U_{11} \) と \( U_{22} \) の退化次数（nullity）は等しく、また \( U_{12} \) と \( U_{21} \) の退化次数も等しいことを示せ。(0.7.5) と比較せよ。

2.7.P5 (2.6.P19) における主張を証明せよ。

2.7.P6 ユニタリ行列

U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} \in M_2

を考える。(a) \(|u_{11}| = |u_{22}|\)、および \(|u_{21}| = |u_{12}| = \sqrt{1 - |u_{11}|^2}\) であることを示せ。(b) \( U \) が対角ユニタリ類似によって複素対称行列に変換可能であることを示せ。

さらなる読書案内：

歴史的概観およびCS分解の一般化（ユニタリ行列 \( U = [U_{ij}] \in M_n \) の任意の \( 2 \times 2 \) 分割、すなわち \( U_{ij} \in M_{r_i, c_j}, i,j = 1,2, r_1 + r_2 = n = c_1 + c_2 \) を含む形）については、C. Paige と M. Wei による “History and generality of the CS decomposition”, Linear Algebra Appl. 208/209 (1994), 303–326 を参照せよ。