2.7
2.7 CS分解
CS分解は、分割されたユニタリ行列に対する分割ユニタリ同値の下での標準形である。その証明には、特異値分解、QR分解、そして次の演習に示される観察が用いられる。
演習.
\( \Gamma, L \in M_p \) とする。
ここで \( \Gamma = \mathrm{diag}(\gamma_1, \ldots, \gamma_p) \)、\( 0 \leq \gamma_1 \leq \cdots \leq \gamma_p \leq 1 \) とする。
また \( L = [\ell_{ij}] \) は下三角行列であり、行列 \([ \, \Gamma \;\; L \;\; 0 \,] \in M_{p, 2p+k}\) の行は直交規格化されていると仮定する。
このとき、\( L \) は対角行列であり、\( L = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \)、さらに
|\lambda_j|^2 = 1 - \gamma_j^2, \quad j = 1, \ldots, p
が成り立つことを説明せよ。
ヒント: もし \( \gamma_1 = 1 \) なら、なぜ \( L = 0 \) でなければならないのか？
もし \( \gamma_1 \lt 1 \) なら、なぜ \( |\ell_{11}|^2 = 1 - \gamma_1^2 \) となるのか？
さらに、直交性から \( \ell_{21} = \cdots = \ell_{p1} = 0 \) であることを説明せよ。このようにして行を順に考えていけ。
目次
- 2.7.1
- 2.7.2
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