2.5.18
系 2.5.18.
\(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。
(a) \(U\) が対称行列ならば、実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\) と、実数 \(\theta_1,\ldots,\theta_n \in [0,2\pi)\) が存在して、
U = Q \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}) \, Q^{T} (b) \(U\) が反対称行列ならば、\(n\) は偶数であり、実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\) と、実数 \(\theta_1,\ldots,\theta_{n/2} \in [0,2\pi)\) が存在して、
U \;=\; Q \Bigl( e^{i\theta_1}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \;\oplus\;\cdots\;\oplus\; e^{i\theta_{n/2}}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \Bigr) Q^{T} 逆に、(2.5.19.1) で表される行列はユニタリかつ対称であり、(2.5.19.2) で表される行列はユニタリかつ反対称である。
証明.
ユニタリ行列 \(U\) が対称または反対称であるとき、恒等式 \(UU^{T}=U^{T}U\) が成り立つ。したがって (2.5.17) により、実直交行列 \(Q\) が存在し、\(Q^{T}AQ\) は (2.5.17.1) の4種類のブロックのうち、非零スカラー倍の直和で表される。
(a) \(U\) が対称の場合、(2.5.17.1) から選べるのは対称なブロックだけなので、\(Q^{T}UQ\) は \(|c|=1\) を満たす \(c[1]\) の形のブロックの直和である。
(b) \(U\) が反対称の場合、選べるのは反対称なブロックだけなので、\(Q^{T}UQ\) は \(|c|=1\) を満たす \(c\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\) の形のブロックの直和である。このことから \(n\) は偶数であることが従う。□
最後の定理として、ユニタリ類似における (1.3.29) の類似結果を述べる。
すなわち、実行列は「ユニタリに類似」であることと「実直交的に類似」であることが同値である。我々は次の演習と系を準備として置く。
演習. \(U \in M_n\) を与える。\(U\) がユニタリかつ複素直交であることと、\(U\) が実直交であることが同値である理由を説明せよ。
ヒント：\(U^{-1}=U^{\*}=U^{T}\)。
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