[行列解析2.1.p20]ユニタリ行列の余因子行列の性質

2.1.p20

2.1.問題20

\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、余因子行列（adjugate）について次を示せ：

\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*

よって \( \mathrm{adj}(U) \) もユニタリであることを結論せよ。

ユニタリ行列 \( U \) に対して余因子行列 \( \mathrm{adj}(U) \) がどのような形になるかを調べ、その結果として \( \mathrm{adj}(U) \) もユニタリ行列となることを示す問題である。

一般の正方行列 \( A \) について成り立つ基本恒等式 \( A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I \) を利用する。

ユニタリ行列では \( U^{-1}=U^{*} \) が成立するので、この恒等式と組み合わせることで余因子行列の形が決定される。

さらにユニタリ性の定義である \( U^{*}U=I \) を用いれば、余因子行列がユニタリであることも結論できる。

まず任意の正方行列 \( A \in M_n \) に対して次の恒等式が成り立つことが知られている。

A\,\mathrm{adj}(A)=\det(A)I

ここで \( A=U \) とし、さらに \( U \) がユニタリであると仮定する。ユニタリ性より \( U^{-1}=U^{*} \) が成立するので、上式の両辺に左から \( U^{-1} \) を掛けると次を得る。

\mathrm{adj}(U)=\det(U)\,U^{-1}

さらに \( U^{-1}=U^{*} \) を代入すると

\mathrm{adj}(U)=\det(U)\,U^{*}

これで示すべき等式が得られた。

次に \( \mathrm{adj}(U) \) がユニタリであることを示す。

まずユニタリ行列に対しては \(|\det(U)|=1\) が成り立つ。

よってある複素数 \( \lambda \) が存在して \( \lambda=\det(U) \)、かつ \( |\lambda|=1 \) と書ける。このとき

\mathrm{adj}(U)=\lambda U^{*}

が成立している。

ここでユニタリ性の確認として、随伴行列をとって積を計算する。

\mathrm{adj}(U)^{*}\,\mathrm{adj}(U) =(\lambda U^{*})^{*}(\lambda U^{*}) =\overline{\lambda}\lambda\,UU^{*} =|\lambda|^{2}I =I

したがって \( \mathrm{adj}(U)^{*}\mathrm{adj}(U)=I \) であり、\( \mathrm{adj}(U) \) はユニタリ行列である。

以上により、余因子行列が求める形をもち、さらにユニタリ性も保たれることが示された。