[行列解析1.4.7]定理

(a) \( y \) を固有値 \(\mu\) に対応する左固有ベクトル、\( x \) を固有値 \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルとする。

次を2通りに計算する：

y^{*}Ax = y^{*}(\lambda x) = \lambda(y^{*}x) 
= (\mu y^{*})x = \mu(y^{*}x)

したがって、\(\lambda \neq \mu\) であれば \(\lambda y^{*}x = \mu y^{*}x\) が成り立つのは \( y^{*}x = 0 \) の場合のみである。

(b) \( Ax = \lambda x \)、\( y^{*}A = \lambda y^{*} \)、かつ \( y^{*}x \neq 0 \) と仮定する。\( y \) を \( y/(x^{*}y) \) に置き換えれば、\( y^{*}x = 1 \) と仮定できる。\( S_1 \in M_{n, n-1} \) の列を \( y \) の直交補空間の基底（すなわち \( y^{*}S_1 = 0 \)）とし、\( S = [x \ S_1] \in M_n \) を考える。

いま \( z = [z_1 \ \zeta^T]^T \) （\(\zeta \in \mathbb{C}^{n-1}\)）とし、\( Sz = 0 \) とする。このとき

0 = y^{*}Sz = y^{*}(z_1x + S_1 \zeta) = z_1(y^{*}x) + (y^{*}S_1)\zeta = z_1

となるので、\( z_1 = 0 \)。さらに \( 0 = Sz = S_1 \zeta \) となり、\( S_1 \) が列フルランクなので \(\zeta = 0\)。よって \( S \) は正則である。

次に \( S^{-*} = [\eta \ Z_1] \) と分割し、\(\eta \in \mathbb{C}^n\) とすると、

I_n = S^{-1}S =
\begin{bmatrix}
\eta^{*}x & \eta^{*}S_1 \\
Z_1^{*}x & Z_1^{*}S_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & I_{n-1}
\end{bmatrix}

を得る。

これから \(\eta^{*}S_1 = 0\) なので、\(\eta\) は \( y \) の直交補空間に直交する。

したがって \(\eta = \alpha y\) （\(\alpha\) はスカラー）である。また \(\eta^{*}x = 1\) より、\((\alpha y)^{*}x = \overline{\alpha}(y^{*}x) = \overline{\alpha} = 1\)。したがって \(\eta = y\) である。

これらの恒等式を用いると、次の相似変換を得る：

S^{-1}AS =
\begin{bmatrix}
y^{*} \\
Z_1^{*}
\end{bmatrix}
A
\begin{bmatrix}
x & S_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y^{*}Ax & y^{*}AS_1 \\
Z_1^{*}Ax & Z_1^{*}AS_1
\end{bmatrix}

=
\begin{bmatrix}
\lambda y^{*}x & \lambda y^{*}S_1 \\
\lambda Z_1^{*}x & Z_1^{*}AS_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 \\
0 & Z_1^{*}AS_1
\end{bmatrix}

これにより (1.4.8) が確認された。

逆に、もし正則行列 \( S \) が存在して

A = S([\lambda] \oplus B)S^{-1}

であるとする。このとき、\( x \) を \( S \) の第1列、\( y \) を \( S^{-*} \) の第1列とし、\( S = [x \ S_1] \)、\( S^{-*} = [y \ Z_1] \) と分割する。

恒等式 \( S^{-1}S = I \) の (1,1) 成分から \( y^{*}x = 1 \) を得る。また、

[Ax \ AS_1] = AS = S([\lambda] \oplus B) = [\lambda x \ S_1B]

の第1列から \( Ax = \lambda x \) が成り立ち、

\begin{bmatrix}
y^{*}A \\
Z_1^{*}A
\end{bmatrix}
= S^{-1}A = ([\lambda] \oplus B)S^{-1} =
\begin{bmatrix}
\lambda y^{*} \\
BZ_1^{*}
\end{bmatrix}

の第1行から \( y^{*}A = \lambda y^{*} \) が成り立つ。■