2.1.14 QR分解

定理 2.1.14（QR分解）
定理 2.1.18（ユニタリ変換による一致）
- 証明

定理 2.1.14（QR分解）

行列 \( A \in \mathbb{M}_{n,m} \) に対して、以下の性質が成り立ちます：

\( n \geq m \) のとき、直交正規列を列にもつ行列 \( Q \in \mathbb{M}_{n,m} \) と、主対角成分が非負の上三角行列 \( R \in \mathbb{M}_m \) が存在し、\( A = QR \) が成り立つ。
\( \mathrm{rank}(A) = m \) のとき、(a) に現れる \( Q \) および \( R \) は一意に定まり、\( R \) の主対角成分はすべて正である。
\( m = n \) のとき、(a) における \( Q \) はユニタリ行列である。
ユニタリ行列 \( Q \in \mathbb{M}_n \) と主対角成分が非負の上三角行列 \( R \in \mathbb{M}_{n,m} \) が存在して、\( A = QR \) が成り立つ。
\( A \) が実行列のとき、(a)～(d) における \( Q \) と \( R \) も実行列としてとれる。

証明

まず、\( A \) の最初の列を \( a_1 \in \mathbb{C}^n \) とし、\( r_1 = \|a_1\|_2 \) とおく。ユニタリ行列 \( U_1 \) を用いて、\( U_1a_1 = r_1 e_1 \) となるようにできる（定理2.1.13による構成）。この \( U_1 \) は、ユニタリなスカラ行列か、それとハウスホルダー行列の積である。

\( U_1A \) を次のように分割する：

U_1 A = \begin{bmatrix} r_1 & * \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}

ここで、\( A_2 \in \mathbb{M}_{n-1,m-1} \)。同様にして、\( a_2 \in \mathbb{C}^{n-1} \) を \( A_2 \) の最初の列とし、\( r_2 = \|a_2\|_2 \) とする。再び定理2.1.13を使って、\( V_2 \in \mathbb{M}_{n-1} \) を構成し、\( V_2a_2 = r_2 e_1 \) となるようにする。次に、

U_2 = I_1 \oplus V_2

と定義すれば、

U_2 U_1 A = \begin{bmatrix} r_1 & * & * \\ 0 & r_2 & * \\ 0 & 0 & A_3 \end{bmatrix}

この操作を \( m \) 回繰り返せば、

U_m \cdots U_1 A = \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix}

が得られ、ここで \( R \in \mathbb{M}_m \) は上三角行列で、主対角成分はすべて非負の \( r_1, \ldots, r_m \) である。\( U = U_m \cdots U_1 \) とし、\( U^* = [Q\ Q_2] \) に分割すれば、\( Q \in \mathbb{M}_{n,m} \) は直交正規列を持ち、\( A = QR \) が成立する。

さらに \( \mathrm{rank}(A) = m \) のとき、\( R \) は正則であり、主対角成分はすべて正になる。

もし \( A = QR = \tilde{Q}\tilde{R} \) かつ \( R, \tilde{R} \) が上三角行列で主対角が正、\( Q, \tilde{Q} \) が直交正規列をもつ場合、次が成り立つ：

A^* A = R^* R = \tilde{R}^* \tilde{R}

これにより、\( \tilde{R}^{-*} R^* = R \tilde{R}^{-1} \) は下三角でも上三角でもあるため対角行列。主対角が正であることから、\( \tilde{R} = R \)、したがって \( \tilde{Q} = Q \) である。

(d) の \( n \geq m \) の場合、(a) の分解から、ユニタリ行列 \( \tilde{Q} = [Q\ Q_2] \in \mathbb{M}_n \)、および

\tilde{R} = \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{M}_{n,m}

を用いて \( A = \tilde{Q} \tilde{R} \) が成り立つ。もし \( n < m \) なら、(a) の手順を \( n \) 回だけ実行し、

U_n \cdots U_1 A = [R\ *]

を得る。このとき、右側のブロックは 0 でなくてもよい。

最後の主張(e)は、定理2.1.13より、構成に用いる \( U_i \) をすべて実行列にできることから従う。

練習問題

任意の \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して \( B = A^*A \) としたとき、\( B = LL^* \) という形に因数分解できることを示せ。ただし \( L \in \mathbb{M}_n \) は下三角行列で主対角成分が非負である。もし \( A \) が正則なら、この分解は一意であることを説明せよ。これは B のコレスキー分解と呼ばれ、正定値あるいは半正定値行列には常に存在する（7.2.9節参照）。

QR分解の簡単な変形

QR分解にはいくつかの便利な変形がある。

まず \( n \leq m \) のとき、\( A^* = QR \)（\( Q \in \mathbb{M}_{n,m} \), \( R \in \mathbb{M}_m \) 上三角）とすれば、

A = R^* Q^* = LQ \tag{2.1.15a}

となり、\( Q \) は直交正規な行（orthonormal rows）を持つ。ユニタリ \( \tilde{Q} = \begin{bmatrix} Q \\ Q_2 \end{bmatrix} \) をとれば、

A = [L\ 0] \tilde{Q} \tag{2.1.15b}

次に、転置行列を反転する行列 \( K_p \)（0.9.5.1）の性質を使えば、上三角行列 \( R \) に対して、

L = K_p R K_p

とすると \( L \) は下三角行列となり、主対角成分は \( R \) のものを逆順に並べたものになる。

\( n \geq m \) のとき、\( AK_m = QR \) より、

A = (QK_m)(K_m R K_m) = QL \tag{2.1.17a}

ユニタリ \( \tilde{Q} = [Q\ Q_2] \) をとれば、

A = \tilde{Q} \begin{bmatrix} L \\ 0 \end{bmatrix} \tag{2.1.17b}

\( n \leq m \) の場合は、\( A^* \) に (2.1.17a), (2.1.17b) を適用して、

A = RQ = [R\ 0] \tilde{Q} \tag{2.1.17c}

または、\( AK_n \) に (2.1.14d) を適用して、

A = Q \tilde{L} \tag{2.1.17d}

が得られる。

定理 2.1.18（ユニタリ変換による一致）

列ベクトル \( x_1, \ldots, x_k \) と \( y_1, \ldots, y_k \) がともに直交正規であるとき、ユニタリ行列 \( U \in \mathbb{M}_n \) が存在して \( Y = UX \) が成り立つ。\( X, Y \) が実行列のとき、\( U \) は実直交行列としてとれる。

証明

各直交正規リストを正規直交基底に拡張し、ユニタリ行列 \( V = [X\ X_2],\ W = [Y\ Y_2] \in \mathbb{M}_n \) を構成する。すると、

U = WV^*,\quad Y = UX

が得られる。\( X, Y \) が実行列のとき、\( V, W \) は実直交行列として選ぶことができる。