目次8.7.1　補題：非単位二重確率行列における置換の存在8.7.2　定理（バーコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現8.7.4　系：二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値8.7.5　補題：二重劣確率行列と二重確率行列の関係8.7....

8.6.問題28.6.P2\( A \in M_n \) が既約かつ非負行列であり、\( n \ge 2 \) とする。さらに、\( A^m = \)（ただし \( m = 1, 2, \ldots \)）と表す。このとき、任意の添字の組 ...

8.6.問題18.6.P1行列 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) とする。式 (8.6.5) における行列因子の直和を計算せよ。また、不等式 (8.6.1) におけ...

8.6.問題集8.6節 練習問題：非負既約行列の極限挙動8.6.P1行列 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) とする。式 (8.6.5) における行列因子の直和を計算...

目次8.6.1　定理：非負既約行列に対する一般的な極限定理8.6　問題集8.6 一般的な極限定理非負行列 \( A \) が既約であっても、正規化されたべき乗 \( A^m \) が極限を持たない場合がある。たとえば、次の行列A = \be...

参考文献Romanovsky の定理の証明については、V. Romanovsky, Recherches sur les chaînes de Markoff, Acta Math. 66 (1936), 147–251 を参照。非負原始行...

8.5.問題208.5.P20(8.5.7) の証明において、行列 \( X_{11} \) および \( X_{12} \) の各列が少なくとも1つの非ゼロ要素を含む理由、および \( Y_{21} \gt 0 \) である理由を説明せよ...

8.5.問題198.5.P19次の各行列の固有値および固有ベクトルを計算し、それらを本章の主要概念（非負、既約、原始、正など）に従って分類せよ。\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \q...

8.5.問題188.5.P18\( A \in M_n \) が非負・既約・対称であるとき、次が成り立つことを示せ：A \text{ は原始的 } \iff A + \rho(A) I \text{ は非特異である。}特に、\( A \) ...

8.5.問題178.5.P17非負行列 \( A \in M_n \) に対して、\( A \) の原始性は、ゼロ要素の位置のみに依存し、非ゼロ要素の大きさには依存しないことを示せ。

8.5.問題168.5.P16非負行列 \( A \in M_n \) のペロンベクトルとスペクトル半径を求める1つの方法として、「べき乗法（power method）」がある。次の手順を考える。x^{(0)} \text{ は任意の正ベク...

8.5.問題158.5.P15\( n \) が素数であり、\( A \in M_n \) が非負・既約・非特異（正則）であるとする。このとき、次のいずれかが成り立つことを示せ。(a) \( A \) は原始行列である。(b) \( A \...

8.5.問題148.5.P14非負行列 \( A = \) が「組合せ的対称（combinatorially symmetric）」であるとは、すべての \( i, j = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ij} \g...

8.5.問題138.5.P13\( \epsilon \gt 0 \) とし、\( A \in M_n \) を非負かつ既約な行列とする。 このとき \( A + \epsilon I \) は原始であることを証明せよ。 さらに、任意の非負...

8.5.問題128.5.P12\( A \in M_n \) を非負かつ既約な行列とする。 次の極限が存在しない例を挙げよ。\lim_{m \to \infty} (\rho(A)^{-1} A)^m

8.5.問題118.5.P11次の行列を考える。A =\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{bmatrix}\( A \) は既約であるが、\( A^2 \) は既約でないことを示せ。 これは (8.5.5) と...

8.5.問題108.5.P10(8.5.1) の部分的逆命題を示せ。すなわち、\( A \in M_n \) が非負かつ既約であり、\lim_{m \to \infty} (\rho(A)^{-1} A)^mが存在するならば、\( A \)...

8.5.問題98.5.P9\( A \in M_n \) を非負行列とする。 \( A \) が原始でなくても、次の極限が存在し得ることを例で示せ。\lim_{m \to \infty} (\rho(A)^{-1} A)^m実際、\( A ...

8.5.問題88.5.P8\( A \in M_n \) が冪等行列（idempotent）であるとき、\( A = \lim_{m \to \infty} A^m \) である。 もし \( A \) が非負かつ既約で冪等ならば、\( A...

8.5.問題78.5.P7本節の終わりで述べられた計算上のショートカット（効率化手法）について議論せよ。

8.5.問題68.5.P6定理 (8.5.9) の証明を詳細に与えよ。

8.5.問題58.5.P5\( A \in M_n \) を非負かつ既約とする。 少なくとも1つの主対角要素が正であるならば、\( A \) は原始であることを説明せよ。 この十分条件は \( n = 2 \) の場合には必要でもあるが、\...

8.5.問題48.5.P4（Wielandtの行列）\( n \ge 3 \) とし、\( A = \in M_n \) を次のように定める。a_{1,2} = a_{2,3} = \dots = a_{n-1,n} = a_{n,1} =...

8.5.問題38.5.P3\( A, B \in M_n \) が非負かつ原始であるとき、各 \( m \gt 0 \) に対して \( A^m \) は原始であることが知られている。 しかし、積 \( AB \) は必ずしも原始であるとは...

8.5.問題28.5.P2\( A \in M_n \) が非負かつ原始であり、\( A^m = \) とする。 すべての \( i, j = 1, \dots, n \) について次を示せ。 \lim_{m \to \infty} (a^...

8.5.問題18.5.P1原始行列の別の定義として、次のようなものが提案されることがある。 非負正方行列 \( A \) が原始であるとは、ある正の整数 \( m \) が存在して \( A^m \gt 0 \) となる場合をいう。 この定...

8.5.以下の問題は、非負行列の原始性（primitivity）に関する定義、性質、および関連する理論の理解を深めるための演習である。 既約性（irreducibility）やスペクトル半径、冪乗行列の挙動などを確認しながら、定理8.5節の...