2.6.P9
2.6.問題9
\(A \in M_n\) とし、その階数を \(r = \mathrm{rank}(A)\) とする。
降順の正の特異値 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_r\) から \(\Sigma_1 = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\) を作り、\(\Sigma = \Sigma_1 \oplus 0_{n-r}\) とする。
ユニタリ行列 \(W \in M_n\) が存在して \(A^* A = W \Sigma^2 W^*\) となるとき、ユニタリ \(V \in M_n\) が存在して \(A = V \Sigma W^*\) となることを示せ。
ヒント
\( A^*A = W \Sigma^2 W^* \) であるとき、\( W \) の列ベクトルは \( A^*A \) の固有ベクトルである。
まず \( A W \) を考え、\( \Sigma \) の正則部分に注目して \( V \) を定義する。
特に \( \sigma_i > 0 \) の部分では \( v_i = \frac{1}{\sigma_i} A w_i \) とおくことで直交系が得られる。
解答例
仮定より
A^* A = W \Sigma^2 W^*
ここで \( \Sigma = \Sigma_1 \oplus 0_{n-r} \)、 \( \Sigma_1 = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r) \) であり、 \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0 \) である。
\( W = (w_1, \ldots, w_n) \) と列ベクトル表示すると、
A^* A w_i = \sigma_i^2 w_i \quad (1 \le i \le r)
が成り立つ。
そこで \( 1 \le i \le r \) に対して
v_i = \frac{1}{\sigma_i} A w_i
と定める。
このとき
\langle v_i, v_j \rangle
= \frac{1}{\sigma_i \sigma_j}
\langle A w_i, A w_j \rangle
= \frac{1}{\sigma_i \sigma_j}
\langle w_i, A^* A w_j \rangle
= \frac{\sigma_j^2}{\sigma_i \sigma_j}
\langle w_i, w_j \rangle
\( W \) はユニタリであるから \( \langle w_i, w_j \rangle = \delta_{ij} \) である。したがって
\langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij}
よって \( v_1, \ldots, v_r \) は正規直交系である。
これを正規直交基底に拡張し、ユニタリ行列
V = (v_1, \ldots, v_n)
を得る。
すると \( 1 \le i \le r \) について
A w_i = \sigma_i v_i
また \( i > r \) では \( \sigma_i = 0 \) であり、 \( A^* A w_i = 0 \) より \( A w_i = 0 \) である。
以上より
A W = V \Sigma
が成り立つ。両辺に右から \( W^* \) を掛けると
A = V \Sigma W^*
となる。
よって、所望のユニタリ行列 \( V \) が存在することが示された。
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