[行列解析2.6.p1]列フルランクと特異値正性の同値性

2.6.P1

2.6.問題1

\(A \in M_{n,m}\) とし、\(n \ge m\) とする。

行列 \(A\) が列フルランクを持つことと、その特異値がすべて正であることが同値であることを示せ。

特異値は行列 \( A \) に対して \( A^{*}A \) の固有値の平方根として定義される。

したがって、特異値が正であることは \( A^{*}A \) が正定値であることと関係する。

一方、列フルランクであることは、\( A \) の列ベクトルが一次独立であること、すなわち \( A x = 0 \) が \( x = 0 \) のみを解にもつことと同値である点に注目する。

まず、行列 \( A \in M_{n,m} \) が列フルランクをもつ、すなわち \( \operatorname{rank} A = m \) であると仮定する。

このとき、任意の \( x \in \mathbb{C}^{m} \) に対して \( A x = 0 \) ならば \( x = 0 \) が成り立つ。

この性質を用いると、任意の \( x \neq 0 \) に対して次が成り立つ。

x^{*} A^{*} A x = \| A x \|^{2} > 0

したがって、\( A^{*}A \) は正定値エルミート行列であり、その固有値はすべて正である。特異値は \( A^{*}A \) の固有値の平方根であるから、\( A \) の特異値はすべて正である。

次に、\( A \) の特異値がすべて正であると仮定する。このとき、\( A^{*}A \) の固有値はすべて正であり、\( A^{*}A \) は正定値である。

よって、任意の \( x \in \mathbb{C}^{m} \) に対して

x^{*} A^{*} A x = 0

が成り立つのは \( x = 0 \) の場合に限られる。これは \( A x = 0 \) が \( x = 0 \) のみを解にもつことを意味する。

したがって、\( A \) の列ベクトルは一次独立であり、\( A \) は列フルランクをもつ。

以上より、行列 \( A \) が列フルランクをもつことと、その特異値がすべて正であることは同値である。