2.6.1定理
定理 2.6.1.
\( A, B \in M_n \) とする。
このとき、ユニタリ行列 \( V, W \in M_n \) が存在して、\( A = V T_A W^* \)、\( B = V T_B W^* \) が成り立ち、かつ \( T_A \) と \( T_B \) はともに上三角行列となる。
さらに、\( B \) が正則であれば、\( T_B^{-1} T_A \) の主対角成分は \( B^{-1}A \) の固有値である。
証明.
\( B \) が正則であると仮定する。
(2.3.1) を用いると、\( B^{-1}A = U T U^* \) と書ける。
ここで \( U \) はユニタリ行列であり、\( T \) は上三角行列である。
次に QR 分解 (2.1.14) を用いて \( B U = Q R \) と書く。
ここで \( Q \) はユニタリ行列、\( R \) は上三角行列である。
したがって、
A = B U T U^* = Q (R T) U^*
となり、\( RT \) は上三角行列である。
また、\( B = Q R U^* \) である。
さらに、
B^{-1} A = U R^{-1} Q^* Q R T U^* = U T U^*
であるから、\( B^{-1}A \) の固有値は \( T \) の主対角成分である。
もし \( A, B \) がともに特異行列であれば、ある \( \delta \gt 0 \) が存在して、\( 0 \lt \varepsilon \lt \delta \) のとき \( B_\varepsilon = B + \varepsilon I \) が正則となる（(1.2.17) を参照）。
このような \( \varepsilon \) に対して、ユニタリ行列 \( V_\varepsilon, W_\varepsilon \in M_n \) が存在して、\( V_\varepsilon^* A W_\varepsilon \) および \( V_\varepsilon^* B W_\varepsilon \) がともに上三角行列になることを示した。
非零スカラー列 \( \{\varepsilon_k\} \) を選んで \( \varepsilon_k \to 0 \) とし、\( \lim_{k \to \infty} V_{\varepsilon_k} = V \)、\( \lim_{k \to \infty} W_{\varepsilon_k} = W \) が存在するとする。
それぞれの極限 \( V, W \) はユニタリ行列である（(2.1.8) を参照）。
したがって、
\lim_{k \to \infty} V_{\varepsilon_k}^* A W_{\varepsilon_k} = V^* A W = T_A
\lim_{k \to \infty} V_{\varepsilon_k}^* B W_{\varepsilon_k} = V^* B W = T_B
はいずれも上三角行列である。
したがって、\( A = V T_A W^* \)、\( B = V T_B W^* \) が成り立つことが結論される。■
この定理には実数版も存在し、次の事実を用いる。
演習.
\( A, B \in M_n \)、\( A \) が上三角行列であり、\( B \) が上準三角行列であると仮定せよ。
このとき \( AB \) は \( B \) に適合した上準三角行列であることを示せ。
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