[行列解析2.5.P62]正規行列における階数と非零固有値の個数

2.5.P62

2.5.問題62

\( A \in M_n \) がちょうど \( k \) 個の非零固有値を持つとき、\(\mathrm{rank}(A) \geq k\) であることは知られている。

\( A \) が正規である場合、なぜ \(\mathrm{rank}(A) = k\) が成り立つのか説明せよ。

正規行列はユニタリ相似により対角化できることを用いる。対角行列では、非零固有値の個数と階数の関係が直接確認できる。

\( A \) が正規行列であると仮定する。このとき、あるユニタリ行列 \( U \) が存在して、 \( U^* A U = D \) と書ける。ただし \( D \) は対角行列であり、その対角成分は \( A \) の固有値である。

仮定より、\( A \) はちょうど \( k \) 個の非零固有値を持つので、対角行列 \( D \) の対角成分のうち、非零のものはちょうど \( k \) 個である。

対角行列の階数は、非零対角成分の個数に等しい。したがって、 \( \mathrm{rank}(D) = k \) が成り立つ。

一方、ユニタリ相似は階数を保つので、 \( \mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(D) \) である。以上より、 \( \mathrm{rank}(A) = k \) が従う。