2.5.P44
2.5.問題44
(a) \( A \in M_n \) がエルミート行列であることと \(\mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A^*A)\) が同値であることを示せ。
(b) エルミート行列 \( A, B \in M_n \) が可換であることと \(\mathrm{tr}((AB)^2) = \mathrm{tr}(A^2B^2)\) が同値であることを示せ。
ヒント
トレースの基本性質 \( \mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX) \) を用いる。
行列 \(A\) に対して \(A^*A\) は常に正定値的であり、\(A\) がエルミートであれば \(A^2=A^*A\) が成り立つ。
(b) では \(AB-BA\) を考え、そのノルム平方がトレースで表されることに注目する。
解答例
(a) まず \(A\) がエルミート行列、すなわち \(A^*=A\) であると仮定する。このとき
A^2 = A A = A^* A
が成り立つので、両辺のトレースを取れば \( \mathrm{tr}(A^2)=\mathrm{tr}(A^*A) \) である。
逆に \( \mathrm{tr}(A^2)=\mathrm{tr}(A^*A) \) が成り立つと仮定する。差を考えると
\mathrm{tr}(A^*A-A^2)=0
となる。一方、
A^*A-A^2 = (A^*-A)A
であり、さらに \( \mathrm{tr}((A^*-A)A)=\mathrm{tr}((A^*-A)^*(A^*-A))/2 \) と書ける。右辺は非負であり、トレースが 0 になるのは \(A^*-A=0\) のときに限られる。したがって \(A^*=A\) であり、\(A\) はエルミート行列である。
(b) まず \(A,B\) が可換、すなわち \(AB=BA\) であると仮定する。このとき
(AB)^2 = A B A B = A^2 B^2
が成り立つので、両辺のトレースを取れば \( \mathrm{tr}((AB)^2)=\mathrm{tr}(A^2B^2) \) である。
逆に \( \mathrm{tr}((AB)^2)=\mathrm{tr}(A^2B^2) \) が成り立つと仮定する。差を取ると
\mathrm{tr}(A^2B^2-(AB)^2)=0
である。エルミート性より \(A^*=A, B^*=B\) であるから、
\mathrm{tr}(A^2B^2-(AB)^2)
= \mathrm{tr}((AB-BA)^*(AB-BA))
が成り立つ。右辺は非負であり、0 になるのは \(AB-BA=0\) のときに限られる。よって \(AB=BA\) であり、\(A\) と \(B\) は可換である。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント