2.5.P40
2.5.問題40
\( A = \begin{bmatrix}0 & B \\ 0 & 0\end{bmatrix} \in M_4 \)、ただし \( B = \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\end{bmatrix} \) とする。
このとき、\( A \) は \( A^{\top} \) と可換であり、また \( \overline{A} \) とも可換であるが、\( A^* \) とは可換でないことを確認せよ。
したがって \( A \) は正規行列ではない。
ヒント
行列 \( A \) はブロック上三角行列であり、転置 \( A^{\top} \)、複素共役 \( \overline{A} \)、随伴行列 \( A^* \) はそれぞれブロックの位置と中身が異なる形になる。
各積 \( AA^{\top} \)、\( A^{\top} A \)、\( A\overline{A} \)、\( \overline{A}A \)、\( AA^* \)、\( A^*A \) を直接計算して比較すればよい。
解答例
まず \( A = \begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix} \) である。
転置行列は \( A^{\top} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B^{\top} & 0 \end{bmatrix} \) である。
このとき
AA^{\top}
=
\begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B^{\top} & 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
BB^{\top} & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}\\
\qquad \\
A^{\top} A
=
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B^{\top} & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & B^{\top} B
\end{bmatrix}
\(B B^{\top} = B^{\top} B= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) であるため、 \( AA^{\top} = A^{\top} A \) が成り立つ。したがって \( A \) は \( A^{\top} \) と可換である。
次に複素共役を取ると \( \overline{A} = \begin{bmatrix} 0 & \overline{B} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \), ただし \( \overline{B} = \begin{bmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{bmatrix} \) である。
このとき
A \overline{A}
=
\begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & \overline{B} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}\\
\qquad \\
\overline{A} A
=
\begin{bmatrix} 0 & \overline{B} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
よって \( A \) は \( \overline{A} \) とも可換である。
最後に随伴行列を考えると \( A^* = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B^* & 0 \end{bmatrix} \) であり、ここで \( B^* = B \) が成り立つ。
このとき
AA^*
=
\begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B^{*} & 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
BB^* & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}\\
\qquad \\
A^*A
=
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ B^{*} & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & B^*B
\end{bmatrix}
B = B^*=\begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\end{bmatrix} \\
\quad \\
BB^*=B^*B = \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix} \( BB^* = B^*B = 2I_2 \) であるが、非零ブロックの位置が異なるため \( AA^* \neq A^*A \) となる。
以上より、\( A \) は \( A^{\top} \) および \( \overline{A} \) とは可換であるが、\( A^* \) とは可換でない。したがって \( A \) は正規行列ではない。
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